Типовые

61

с использованием краевых условий получаем собственные значения λ=n и собственные функции

Φ n (ϕ ) = An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ) .

Решение второго уравнения системы

r2 R”(r) + rR’(r) - λ2R(r)=0

будем искать в виде R(r)=rm, что дает

r2m(m-1)rm-2+rmrm-1- λ2rm=0,

или

rm(m2-λ2)=0

т.е. m=±λ.

Следовательно

R(r) = Cr λ + Dr −λ .

Второе слагаемое необходимо отбросить, поскольку оно дает бесконечность в центре круга: D=0. Таким образом

R(r) = Cr n

и окончательно

un (r,ϕ ) = R(r)Φ(ϕ ) = (An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))r n .

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения.

u(r,ϕ ) = ∑(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))r n .

n

Учитывая случай с λ=0 получим

u(r,ϕ ) = A0 + ∑(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))r n .

n=1

Подставляя сюда начальное условие

u(1,ϕ ) = A0 + ∑(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))1n = 31cos(8ϕ ) + 32 sin(9ϕ )

n=1

мы видим, что все константы An=Bn=0 кроме A8=31, B9=32. Поэтому решение исходного уравнения имеет вид

u(r,ϕ ) = 31cos(8ϕ )r 8 + 32 sin(9ϕ )r 9 .

62

Задача 13. Решить смешанную задачу.

utt = 16uxx ;

u(x,0) = 31sin(πx); ut (x,0) = 0;

u(0, t) = u(8, t) = 0.

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

u(x,t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

utt = a 2u xx ,

имеем

X (x)T"(t) = a 2 X "(x)T (t) .

Здесь a 2 = 16 . После деления на X(x)T(t) получим

Это равенство двух отношений, зависящих только от x и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу -l. (l>0):

т.е.

X”(x)+ λX(x)=0,

T”(t)+ λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями

X”(x)+ λX(x)=0,

X(0)=X(8)=0

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

X(x) = A cos(λ x) + B sin(λ x)

сиспользованием краевых условий

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A cos(0) = A ×1 = 0 A = 0 ,

X (8) = B sin(8 × λ ) = 0 .

находим собственные значения

λ = λ = πn 2 n 8

и собственные функции

63

Второе уравнение системы

T”(t)+ l a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C cos(aλt) + D sin(aλt) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:

мы видим, что все константы Cn=0 кроме C8=31. Поэтому окончательный ответ имеет вид

u(x, t) = 31cos(aπt) sin(πx) = 31cos(4πt) sin(πx) .

Задача 14. Решить смешанную задачу.

utt = 16uxx ;

u(x,0) = 31sin(πx); ut (x,0) = 4π sin(πx); u(0, t) = u(8, t) = 0.

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

u(x,t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

utt = a 2u xx ,

имеем

X (x)T"(t) = a 2 X "(x)T (t) .

Здесь a 2 = 16 . После деления на X(x)T(t) получим

66

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

X (x) = A cos(λ x) + B sin(λ x) ,

X'(x) = λ (- Asin(λ x) + B cos(λ x))

сиспользованием краевых условий

X '(0) = λ (- A × 0 + B ×1) = λ B ×1 = 0 B = 0;

X '(7) = λ (- Asin(λ 7))= 0 λ 7) = πn

находим собственные значения

λ = λ = πn 2 n 7

и собственные функции

Второе уравнение системы

T”(t)+ l a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C cos(aλt) + D sin(aλt) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

un (x, t) = X (x)T (t) = (Cn cos(aλt) + Dn sin(aλt))cos(πn x) . 7

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:

мы видим, что все константы Cn=0, Dn=0 кроме D7=1. Поэтому окончательный ответ имеет вид

u(x, t) = sin(4πt) cos(πx) .

67

Задача 16. Решить смешанную задачу.

utt = 81u xx ;

u(x,0) = 0;

ut (x,0) = 9π sin(πx);

u(0, t) = u x (5 / 2, t) = 0.

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

u(x,t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

utt = a 2u xx ,

имеем

X (x)T"(t) = a 2 X "(x)T (t) .

Здесь a 2 = 81. После деления на X(x)T(t) получим

Это равенство двух отношений, зависящих только от x и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу -l. (l>0):

т.е.

X”(x)+ λX(x)=0,

T”(t)+ λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями

X”(x)+ λX(x)=0,

X(0)=X’(5/2)=0

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

X (x) = A cos(λ x) + B sin(λ x) ,

X'(x) = λ (- Asin(λ x) + B cos(λ x))

сиспользованием краевых условий

X (0) = (A ×1 + B × 0) = A ×1 = 0 A = 0;

X '(5 / 2) = λ (- B cos(λ 5 / 2))= 0 λ 5 / 2) = 2n + 1π 2

находим собственные значения

Второе уравнение системы

T”(t)+ λ a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C cos(aλt) + D sin(aλt) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

un (x, t) = X (x)T (t) = (Cn cos(aλt) + Dn sin(aλt))sin(π (2n + 1) x) . 5

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:

мы видим, что все константы Cn=0, Dn=0 кроме D2=1. Поэтому окончательный ответ имеет вид

u(x, t) = sin(9πt) sin(πx) .

Задача 17. Решить смешанную задачу.

utt = 4uxx ;

u(x,0) = 31sin(2πx) − 1 + 3x;

ut (x,0) = 0;

u(0, t) = −1;u(2, t) = 5.

Решение.

Введем новую функцию w = w(x, t) , связанную с u(x,t):

w(x, t) = u(x, t) + γ 1 x + γ 2 .

Подберем коэффициенты γ1 и γ2 так, чтобы соответствующее дифференциальное уравнение для w = w(x, t) :

69

wtt = 4wxx ,

имело нулевые граничные условия:

w(0, t) = u(0, t) + γ 2 = 0 , w(2, t) = u(2, t) + γ 1 2 + γ 2 = 0 .

Подставляя сюда вместо u(0,t) и u(2,t) соответствующие граничные условия получим систему уравнений для определения γ1 и γ2:

− 1 + γ 2 = 0 5 + 2γ 1 + γ 2 = 0

.

Откуда γ2=1, γ1=-3 и наша новая функция имеет вид w(x, t) = u(x, t) − 3x + 1. Таким образом, нам необходимо найти решение смешанной задачи для функции w = w(x, t) :

wtt = 4wxx ,

w(x,0) = 31sin(2πx) , w(0, t) = w(2, t) = 0 .

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

w(x, t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

получим систему

X”(x)+ λX(x)=0,

T”(t)+ λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями

X”(x)+ λX(x)=0,

X(0)=X(2)=0

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

X (x) = A cos(λ x) + B sin(λ x)

70

с использованием краевых условий

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A ×1 = A = 0 ,

X (2) = B sin(2λ ) = 0

находим собственные значения

λ = λ = πn 2 n 2

и собственные функции

X n (x) = Bn sin(πn x) . 2

Второе уравнение системы

T”(t)+ λ a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C cos(aλt) + D sin(aλt) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

wn (x, t) = X (x)T (t) = (Cn cos(aλt) + Dn sin(aλt))sin(πn x) . 2

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:

мы видим, что все константы Cn=0, Dn=0 кроме C4=31. Поэтому ответ имеет вид

w(x, t) = 31cos(4πt) sin(2πx) .

Переходя к старой функции u(x, t) = w(x, t) + 3x − 1 получим окончательный ответ

u(x, t) = 31cos(4πt) sin(2πx) + 3x − 1 .