Лекции
.pdfМОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Курс лекции
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
6 семестр
Лектор Черепова Марина Фёдоровна
Москва,2011
Лекция № 1.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.
Основные уравнения математической физики: |
|
||||||||||||||||||||||
1. |
Волновое уравнение (колебательные процессы). |
|
|||||||||||||||||||||
|
2U |
2U |
|
2U |
|
2U |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
a2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Уравнения теплопроводности (распределения тепла, диффузия). |
|
|||||||||||||||||||||
|
U |
|
2U |
|
|
2U |
|
2U |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
a2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Уравнение Лапласа (стационарные процессы). |
|
|||||||||||||||||||||
|
2U |
2U |
2U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
y2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим линейное уравнение 2-ого порядка: |
|
|||||||||||||||||||||
a x, y 2U |
2b x, y |
2U |
|
c x, y |
2U |
e x, y U |
h x, y U d x, y U f x, y 0 |
(1) |
|||||||||||||||
x y |
|
y2 |
|||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
Уравнение (1) линейное, т. к. функция U и её производные в первой степени. Предполагается, что U x, y дважды непрерывно-дифференцируема в области .
От переменных x, y перейдём к переменным , :
x, yx, y
Предполагаем, что x, y и x, y тоже дважды непрерывно дифференцируемы и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
якобиан D |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
0 |
в области . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
U |
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
U 2 |
|
|
|
U |
|
|
U 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2U |
|
2 |
|
|
|
|
2U |
|
U 2 |
|
2U |
|
|
2U |
2 |
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
1 | С т р а н и ц а |
|
2U |
|
2 |
2 |
|
2U |
|
2U 2 |
|
U 2 |
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т . к. , C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2U |
|
2U |
|
2 |
|
|
2U |
|
|
2U |
2 |
|
|
U |
2 |
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2U |
|
|
2U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
U |
|
|
U 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y x |
|
|
x y |
|
|
y x |
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
y x |
|
|
y |
|
x |
|
x y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2U |
|
|
2U |
|
|
2U |
|
2U |
|
U 2 |
U |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
y |
x |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
x y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2U |
|
|
|
2U |
|
|
|
|
|
|
2U |
|
|
U 2 |
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
x y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем полученные равенства в (1):
|
2U |
2 |
2 |
|
2U |
|
2U |
2 |
|
U 2 |
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
x |
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2U |
|
|
2U |
|
|
|
|
|
|
|
2U |
|
U 2 |
|
U 2 |
|
||||||||||||||||
2b |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
x y |
|
y |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
x y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
2U |
|
|
2 |
|
2U |
|||||
c |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
||
|
|
|
y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
|
U |
||
e |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
2U |
|
|
2 |
|
U 2 |
|
U 2 |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
dU f |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2U |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
c |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
U |
|
a |
|
2b c |
|
|
|
|
|
|
U a |
2b |
|
|
c |
|
e h |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x y |
y |
|
x |
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
2 2b |
|
|
c |
|
|
2 |
e |
|
|
|
h |
|
|
dU f 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
x y |
y |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге, получили линейное уравнение, эквивалентное исходному:
A , 2U
2
2B , 2U C , 2U2
|
U |
, |
U |
0 |
(1’) |
F , ,U , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Младший член
Можно ввести такую замену, чтобы A , 0 и уравнение (1’) имело бы наиболее простую форму.
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
2 | С т р а н и ц а |
Лемма.
Функция z x, y является частным решением уравнения:
a zx |
|
2b zx |
zy |
c zy |
|
0 (2) |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
тогда и только тогда, когда соотношение x, y C, C const является общим
интегралом обыкновенного дифференциального уравнения следующего вида:
|
|
|
|
a dy 2 |
2bdxdy c dx 2 0 |
(3) |
|
||
|
|
|
z x, y |
|
|
||||
|
|
Функция |
– |
решение уравнения (2). По определению, это |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
означает,что a x |
|
2b x |
y |
c y |
0 в области . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Так как D 0 и дважды непрерывно дифференцируема в области ,то x |
|
одновременно не обращаются в ноль в некоторой окрестности каждой |
|||||||
y |
||||||||
точки области. Для простоты предположим, что |
|
0 |
во всей области , |
|||||
y |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
тогда можем поделить уравнение на y |
: |
|
|
|
||||
|
|
2 |
2b |
|
|
|
|
(4) |
|
a |
x |
x c 0 в области . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
Так как |
|
y |
0 |
во |
всей |
области |
, |
следовательно, |
существует |
неявная |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
y g x, C |
(которая |
задана |
соотношением |
|
x, y C ), |
причём |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
x, y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
функция дифференцируема и dx |
|
x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y g x,C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dy |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
dx |
|
2b dx |
c |
|
a |
|
|
|
|
|
2b |
|
c a |
|
|
|
2b |
|
c 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y g x,C |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, |
|
|
y g x, C |
|
– |
|
|
|
общее |
решение |
обыкновенного |
|||||||||||||||
дифференциального уравнения (3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, |
|
|
x, y C, |
C const |
является |
|
общим |
|
интегралом |
обыкновенного дифференциального уравнения (3).
Аналогично.
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
3 | С т р а н и ц а |
Лекция № 2.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.
Определение 1. Уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a dy 2 2bdxdy c dx 2 0 |
(3) |
|
|||||
называется характеристическим для дифференциального уравнения |
|
||||||||||||||||
a x, y 2U 2b x, y |
2U |
|
c x, y 2U |
e x, y U h x, y U d x, y U f x, y 0 |
(1), |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
x y |
|
y2 |
|
|
x |
y |
|
|||
а его общие интегралы называются характеристиками уравнения (1). |
|
||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим характеристическое уравнение (3). Пусть a 0 или |
c 0 . |
||||||||||||||
Для определённости пусть a 0 . Поделим исходное уравнение (3) на dx 2 : |
|||||||||||||||||
dy 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy |
|
|
|
|
dy |
|
b b2 |
ac |
|
|
|||||||
a |
|
2b |
|
c |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dx |
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
Возможны три случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
b2 ac 0 |
в |
|
рассматриваемой области , тогда уравнение (1) |
|||||||||||||
|
|
называется уравнением гиперболического типа в области . |
|
||||||||||||||
2. |
b2 ac 0 |
в |
|
рассматриваемой области , тогда уравнение (1) |
|||||||||||||
|
|
называется уравнением эллиптического типа в области . |
|
||||||||||||||
3. |
b2 ac 0 |
в |
|
рассматриваемой области , тогда уравнение (1) |
|||||||||||||
|
|
называется уравнением параболического типа в области . |
|
||||||||||||||
|
|
Справедливо следующее равенство: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 AC b2 ac D2 |
|
|
|||
|
|
Так как D 0 , то знак выражений B2 AC |
и b2 ac один и тот же, т. е. |
определение типа уравнения инвариантно (не зависит от) относительно преобразований координат, если D 0 .
Рассмотрим каждый тип отдельно.
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
4 | С т р а н и ц а |
1. Гиперболический тип.
b2 ac 0 в рассматриваемой области . Следовательно, характеристическое уравнение (3) имеет два семейства действительных линейно-независимых
(ЛНЗ) характеристик:
~ x, y C
~ x, y C
~
C const
Полагаем
x, y A 0 (следует из леммы)x, y C 0 (следует из леммы)
Тогда уравнение (1’) в случае b2 ac 0 имеет вид:
2B , 2U F 0
Поделим это уравнение на B , . Имеем право, так как B 0 , иначе B2 AC 0 b2 ac 0 противоречие.
Получили канонический вид гиперболического уравнения (первая форма):
|
2U |
, |
F |
|
|
|
2B |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Сделав ещё одну замену
получим вторую форму:
2U |
|
2U |
~ |
2 |
|
2 |
, |
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
5 | С т р а н и ц а |
2. Эллиптический тип.
b2 ac 0 в рассматриваемой области . Следовательно, характеристическое уравнение (3) имеет два семейства комплексно-сопряжённых
характеристик:
~ x, y C
* ~ x, y C
~
C const
Полагаем
x, y A 0 (следует из леммы)* x, y C 0 (следует из леммы)
Но при этом уравнение становится комплексным. Чтобы избавиться от комплексной переменной, сделаем ещё одну замену:
* Re 2
* Im 2i
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 A a |
|
|
2b |
|
a |
i 2 |
2b |
i |
|
i |
c i 2 |
|
||||||||||||
|
c |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
x |
|
x |
x |
x |
y |
y |
|
|
y |
y |
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
2 2b |
|
c 2 |
2i a |
b |
c a 2 |
2b |
|
c 2 |
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x y |
y |
|
x x |
x y |
|
|
y x |
y y |
|
x |
|
|
x y |
y |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
A C 0 A C
2B 0 B 0
A 2U
2
|
|
0 |
|
2U |
|
|
2U |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
F |
A |
A |
F |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Заметим, что A 0 , иначе С 0 , следовательно, изменится тип уравнения, но при замене тип должен сохраняться.
Получили канонический вид эллиптического уравнения:
2U |
|
2U |
|
|
|
|
|
|
, |
|
F |
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
||
A |
|
||||||
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
6 | С т р а н и ц а |
3. Параболический тип.
b2 ac 0 в рассматриваемой области . Следовательно, характеристическое
уравнение (3) имеет только одно семейство действительных характеристик:
~ x, y C
~
C const
Полагаем
x, y A 0 (следует из леммы)
x, y , x, y C2 : D 0
b2 ac 0 b2 ac a и с одного знака. Пусть, для определённости, a 0, c 0 ,
тогда b a c . Рассмотрим b a c . Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Имеем
0 A a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2b |
|
2 a c |
a |
|
c |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
y |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
||
|
|
a x |
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
c y |
|
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B a |
2b |
|
c |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
a |
c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
x y |
|
y y |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
x y |
|
y y |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
c |
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение (1’) в случае b2 ac 0 имеет вид:
C , 2U F 02
Поделим это уравнение на C , . Имеем право, так как C 0 , иначе уравнение не будет уравнением второго порядка.
Получили канонический вид параболического уравнения:
2U |
, |
F |
|
2 |
C |
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
7 | С т р а н и ц а |
Лекция № 3.
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
Рассмотрим процесс распространения тепла в твёрдом теле. Обозначим через U x, y, z,t температуру тела в точке с координатами
x, y, z в момент времени t .
Выделим в теле произвольно малый объём V, ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S. Подсчитаем баланс тепла в этом объёме за произвольный период времени t t2 t1 .
Количество тепла, поступающее через единицу площади за единицу времени обозначим q k Un , где k – коэффициент теплопроводности, n –
нормаль к S, Un – производная по нормали (нормаль внутренняя, т. к.
направления нормали и потока совпадают).
Тогда количество тепла, поступающее через элемент S за время t :
Q k |
U |
S t |
|
n |
|||
|
|
||
Количество тепла, поступающее в V за время t : |
|||
t |
|
U dS |
|
Q1 2 dt k |
|||
t1 |
S |
n |
Кроме того в объём V может поступать тепло (или выделяться тепло) за счёт внутренних источников. Пусть F x, y, z,t – плотность внутренних
источников, тогда количество тепла за счёт внутренних источников за время
t :
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
dt F x, y, z,t dxdydz |
|
|
|
||
|
|
|
t1 |
V |
|
|
|
|
С |
другой |
стороны, |
чтобы |
нагреть |
V |
на |
величину |
|
tU U x, y, z,t t U x, y, z,t |
нужно сообщить телу |
|
количество тепла |
Q3 C tU V , где C – удельная теплоёмкость, – плотность. Если тело неоднородное, то Q3 C tU dxdydz .
V
Составим уравнение баланса:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 Q2 |
Q3 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dt k |
U dS 2 |
dt F x, y, z,t dxdydz tUC dxdydz |
||||||||||||
|
t1 |
|
S |
|
n |
t1 |
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
Предположим, что U C2 V |
, |
а функции F,C, C V |
, k C1 |
V |
, тогда: |
||||||||||
U |
|
|
U |
k |
|
|
|
k |
U |
|
|
|
dS |
|
|
|
n |
grad U , n k |
n |
grad U , n |
n |
dS k grad U , n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
S |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
по теореме |
|
|
|
div k grad U dxdydz |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Острог радског о Гаусса |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
8 | С т р а н и ц а |
t |
dt div k grad U dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Q1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
t1 |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U U x, y, z, t t U x, y, z, t |
|
по теореме |
|
|
|
U x, y, z, t |
t, t |
t |
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лаг ранжа |
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Q3 C U |
x, y, z, t3 dxdydz t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
V |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
dt F x, y, z,t dxdydz C U x, y, z,t3 dxdydz t |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
dt div k grad U dxdydz 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t1 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||
|
В силу условий на функции можем применить теоремы о среднем для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кратного и определённого интегралов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t5 t1,t2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M1, |
M 2 , M3 V , |
|
t4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
div k grad U |
|
|
|
|
|
t V F |
M |
,t |
t V C U |
|
|
|
t V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
M1 ,t4 |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
div k grad U |
|
|
|
|
|
C U |
|
|
|
|
|
|
M 3 ,t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
F M |
,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
M1 ,t4 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 3 ,t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Формируем произвольную точку M V , стягиваем объём V в точку M, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
устремляем t 0 . Тогда M1, |
M2 , M3 M , |
t2 t1 |
t3 , |
t4 , t5 t1 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Так как функции из (*) непрерывны по совокупности переменных, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем, что: |
|
|
lim div k grad U |
|
|
|
|
|
|
|
div k grad U |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 ,t4 |
|
M ,t1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
lim F M 2 ,t5 |
|
F M ,t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
C U |
|
|
|
|
|
C U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 3 |
M |
|
|
t |
|
M 3 ,t3 |
|
|
t |
|
M ,t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Так как |
M V – |
|
произвольная точка, |
а t1 |
– |
|
|
произвольный момент |
времени, то уравнение, описывающее процесс распространения тепла имеет вид (уравнение теплопроводности):
div k grad U F C U
t
Если k const , то div k grad U k div grad U k U , где U – оператор Лапласа.
U a2 U ft
a2 Ck – коэффициент температуропроводности, а f показывает, есть ли в теле внутренние источники тепла.
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
9 | С т р а н и ц а |