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Тогда |
сходятся |
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следовательно,ряды |
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сходятся равномерно. |
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Следовательно: |
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3. |
Ряд (10) можно дифференцировать в 2 раза по x и 2 раза по t ; |
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4. |
Так |
как, |
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кроме |
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2U |
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непрерывны в . |
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Аналогично получаем,что Ut |
непрерывна в |
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Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
30 | С т р а н и ц а |
ЗАДАЧА КОШИ.
Обозначим D x,t : x R, 0 t T .
Задача Коши состоит в том, чтобы найти функцию U x,t , непрерывную
и ограниченную в замкнутой области в D , удовлетворяющую уравнению колебания струны:
2U |
a2 2U |
, x,t D |
(11) |
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t2 |
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x2 |
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и начальным условиям: |
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U |
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(12) |
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t |
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t 0 |
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Найдём общее решение уравнения (11). Составляем характеристическое уравнение для уравнения (11).
dx 2 a2 dt 2 0 dx a dt x xt C
x at C
Характеристики x at C
Делаем замену:
x atx at
Тогда уравнение (11) примет вид
2 ~ |
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"константа " |
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F |
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интегрирования |
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~ |
, F G |
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U |
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~ – сложная функция.
U
Получаем общее решение уравнения (11), где F, G – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции:
U x,t F x at G x at
Используем начальные условия (12):
U t 0 F x G x x
Ut t 0 a F x a G x x
F x G x |
1 |
x |
x |
F z dz |
x |
G z dz x |
1 |
z dz, x, |
x произвольные точки из R |
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F x F x0 G x G x0 1 x z dz a x0
F
F
x G x 1a x z dz C1, C1 F x0 G x0
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Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
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Таким образом, решение задачи Коши (11), (12) даётся формулой |
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(формула Даламбера): |
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Устойчивость решения задачи Коши. |
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Пусть U x,t – решение задачи (11), (12), а функция U * x,t – решение |
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2 |
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2a |
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x |
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||||
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* x at * x at |
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1 x at |
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U * x,t |
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* z dz |
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2 |
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2a |
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x at |
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x at * x at |
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x at * x at |
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1 |
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x at |
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U x,t U * x,t |
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z * z |
dz |
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2 |
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2 |
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2a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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x at |
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x at * x at |
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x at * x at |
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1 |
x at |
|
z * z |
|
dz |
|
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2 |
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2 |
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2a |
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x at |
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2 |
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2 |
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||||||||
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2 t |
|
T , 0 |
t T , |
|
|
если |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
1 T |
|
|
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|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
32 | С т р а н и ц а |
Лекция № 9.
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ.
Рассмотрим краевую задачу для полуограниченной струны 0 x : |
|||||||||||||||
|
2U |
a2 |
2U |
|
|
|
0, 0 |
t T |
1 |
||||||
|
t |
2 |
x |
2 , x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
U |
|
|
|
x , U |
t |
|
|
|
x , x 0 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t 0 |
|
|
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|
|
t 0 |
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|||
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|
|
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|
||||
|
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0, 0 t T |
|
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||||||||
U |
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x 0 |
|
|
3 |
||||||||||
|
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|
Предположим, что C2 0; , C1 0; , 0 0 . |
|||||||||||||||
Продолжим функции x , |
x нечётным образом на ;0 : |
||||||||||||||
|
|
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|
x , |
x 0 |
|
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x |
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|||||
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x , x 0 |
|
|||
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|
x , |
x 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x , x 0
Рассмотрим функцию:
|
|
|
|
|
|
x at x at |
|
1 |
x at |
|
|
|
||||||||
|
|
|
U x,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z dz , где x R, |
0 t T |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U x,t |
|
|
|
|
|
x at |
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
удовлетворяет |
уравнению |
(1) |
||||||||||||||||
x R, 0 t T |
и начальным условиям: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U x,t |
U |
|
t 0 x , Ut |
|
t 0 x , x R |
|
|||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
|
удовлетворяет |
уравнению |
(1) |
||||||||||||||||
x 0, |
0 t T и начальным условиям (2), так как при x 0 : |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|||||
|
|
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x x |
|
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||||
|
|
|
|
|
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Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
at at |
|
1 |
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
|
|
|
z dz Используем нечѐтность |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 0 |
|
2 |
|
|
|
|
2a |
at |
|
|
|
|
функций и |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
at at |
|
1 |
at z dz 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
2a at |
|
|
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|||
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|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4)
на множестве
на множестве
Таким образом, формула (4) является решением задачи (1) – (3). Вернёмся в (4) к функциям x , x . Заметим, что x at x at для
x 0, 0 t T . Рассмотрим два случая:
1. x 0, t ax x at 0 x at x at
x at |
x at |
|
|
|
|
|
z dz z x at 0 z dz |
|
x at |
x at |
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
33 | С т р а н и ц а |
|
|
|
|
|
|
|
|
x at x at |
1 |
x at |
|
|
x |
|
|
|||||||||||
Следовательно, U x,t |
z dz , если x 0, |
t |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at |
|
|
|
|
|
|||||
2. x 0, t |
x |
x at 0 x at at x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x at |
0 |
|
x at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z dz |
z dz |
|
z dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x at |
x at |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
z dz |
z |
|
|
0 d |
0 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x at |
d dz |
at x |
|
|
at x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x at |
x at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
z dz z dz |
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
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|
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x at |
0 |
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x at |
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x at |
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z dz |
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dz |
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d z dz |
z |
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||||||||||
x at |
at x |
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0 |
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at x |
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x at at x |
1 |
x at |
|
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x |
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||||||||||||
Следовательно, U x,t |
z dz , если x 0, |
t |
. |
|||||||||||||||||||||||
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2 |
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2a |
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a |
|||||||
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at x |
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Таким образом, решение задачи (1) – (3) имеет вид: |
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x at |
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x at x at |
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1 |
z dz, x 0, t |
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x |
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2 |
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2a x at |
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a |
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|||
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U x,t |
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x at |
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x at at x |
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1 |
z dz, x 0, t |
x |
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|||||||||||
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2 |
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a |
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|||
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2a at x |
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Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
34 | С т р а н и ц а |
ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.
Найдём выражение для энергии малых поперечных колебаний струны. Предполагаем, что в некоторый момент времени струна находится в положении равновесия, то есть U x,0 0, 0 x l .
Предполагаем, что концы струны жёстко закреплены.
E = K + U, где K – кинетическая энергия, U – потенциальная энергия. Элемент струны dx , движущийся со скоростью Ut , обладает
кинетической энергией:
12 m 2 12 x dx Ut 2 , где x C 0;l – плотность струны. Следовательно, кинетическая энергия всей струны:
K1 l x Ut 2 dx
2 0
Фиксируем любой момент времени t0 и пусть U0 x U x,t0 – профиль струны в момент времени t0 . Найдём работу по перемещению струны из положения равновесия в положение U0 x . Следовательно, U = –A.
T0 Ux |
Элемент |
x |
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струны |
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dx |
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под |
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действием |
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силы |
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натяжения |
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x dx |
T0 |
Ux |
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T0 |
Uxxdx за время dt |
|
перемещается на величину Ut dt . |
Тогда |
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по |
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за |
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время |
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будет |
равна |
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работа |
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перемещению |
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dx |
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dt |
T0Uxxdx Ut dt |
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(предполагаем, что функция U C2 ). Следовательно, работа по перемещению |
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всей струны за время равна: |
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l |
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T U |
U dx |
dt |
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0 |
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xx |
t |
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0 |
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Следовательно, работа по перемещению всей струны за время t0 : |
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l |
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интег рирование |
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t0 |
dt T U U |
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l |
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l |
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T U |
U dx |
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0 xx |
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по частям |
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0 x t |
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0 |
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0 xt x |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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Заметим, |
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|
l |
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0 , так как это работа по перемещению конца x 0 |
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что T0U xUt dt |
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0 |
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x 0 |
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l |
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||||
за время t0 |
и так как конец x 0 |
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0 . |
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жёстко закреплён. Аналогично T0U xUt dt |
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t0 |
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l |
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0 |
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x l |
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A |
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dt |
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T U U |
dx |
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0 |
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xt |
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x |
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0 |
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0 |
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2 |
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|||||
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|
Так как |
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|
|
|
, значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
Ux |
|
2UxUxt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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||
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1 t0 |
|
|
l |
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|
|
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|
2 |
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|
|
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1 t0 |
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|
d |
l |
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2 |
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|
по формуле |
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A |
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dt |
|
T |
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|
|
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U |
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dx |
|
|
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dt |
|
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T |
U |
dx |
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|||||||||||||||
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0 |
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|
x |
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|
|
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0 |
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|
x |
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|
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|||||||||||||||
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2 0 |
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0 |
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2 |
0 |
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|
dt |
0 |
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Ньютона Лейбница |
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||||||||||||||||||
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1 |
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l |
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2 |
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t0 |
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1 |
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l |
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2 |
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1 |
l |
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2 |
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|||||||
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T |
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dx |
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T |
U |
x,t |
|
dx |
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T |
U |
x,0 dx |
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2 0 |
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2 0 |
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0 |
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x |
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0 |
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x |
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0 |
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0 |
x |
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|||||||||||
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2 |
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0 |
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0 |
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следовательно, потенциальная энергия в момент времени t : |
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t0 равна времени,
Интеграл (5) называется интегралом энергии для уравнения колебаний струны.
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
36 | С т р а н и ц а |
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ.
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Рассмотрим первую краевую задачу: |
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Теорема 1. |
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– решения |
задачи |
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(6) |
– (8). Тогда |
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Рассмотрим функцию w x,t U |
x,t U |
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и w – решение |
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Запишем интеграл энергии для w ,являющийся решением (9) – (11): |
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0 |
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Следовательно |
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dE t |
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l x w |
T w w dx 0 t |
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dt |
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tt |
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0 xt |
t |
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0 |
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0 |
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1 l |
x |
2 |
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2 |
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Таким образом, E t const t E t E 0 |
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dx . |
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2 |
wt |
T0 wx |
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t 0 |
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0 |
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Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
37 | С т р а н и ц а |
wt |
0 |
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t 0 |
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w x,0 0 w |
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0 |
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x |
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t 0 |
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dx 0 t |
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l |
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T0 |
wx |
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Следовательно E t E 0 0 t x wt |
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2 |
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2 |
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0 |
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Так как под интегралом непрерывная функция,следовательно
x w 2 |
T |
w |
2 |
0 |
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0 w x,t |
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wt |
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t |
0 |
x |
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w |
0 |
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|||
0 |
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0 |
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x |
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w x,0 0 w x,t 0 x 0;l t 0;T
const x 0;l t 0;T
U1 x,t U2 x,t , 0 x l, 0 t T
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
38 | С т р а н и ц а |
Лекция № 10.
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.
Уравнение Лапласа имеет вид:
U 0 |
, где |
2 |
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2 |
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– оператор Лапласа. |
(1) |
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x2 |
y2 |
z2 |
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Определение 1. |
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если U C2 и |
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Функция U называется гармонической в области , |
удовлетворяет уравнению (1) в . Здесь – ограниченная область из R3 .
Обозначим (граница области).
Первая краевая задача (или задача Дирихле) для уравнения Лапласа состоит в том, чтобы найти функцию U C C2 , удовлетворяющую
уравнению (1) в и граничному условию I рода:
U M
Вторая краевая задача (или задача Неймана) для уравнения Лапласа состоит в том, чтобы найти функцию U C1 C2 , удовлетворяющую
уравнению (1) в и граничному условию II рода:
U |
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M |
(n – единичная внешняя нормаль к ) |
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n |
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Физический смысл – распределение тепла в пластине.
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
39 | С т р а н и ц а |