Лекции
.pdfЛекция № 6.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
Задача Коши для уравнения теплопроводности состоит в том, чтобы
найти |
функцию |
U x,t , |
непрерывную |
и |
ограниченную |
в |
||||
|
|
x,t : |
x R, 0 t T , |
удовлетворяющую в D x,t : |
x R, 0 t T уравнению |
|||||
|
D |
|||||||||
теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
U |
a2 2U , x R, 0 t T |
|
(1) |
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
x2 |
|
|
|
и начальному условию |
|
|
|
t 0 x , x R |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
U |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чёткого соответствия с физическим объектом, например стержнем, у данной задачи нет.
Докажем, что для любой непрерывной и ограниченной в R функцииx решение задачи Коши (1), (2) существует и определяется формулой:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
U x,t |
|
|
e |
4a2t d |
(3) |
||||
|
|
2a |
|
|
|||||||
|
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл (3) называется интегралом Пуассона. |
|
||||||||||
Функция G x, ,t |
1 |
|
|
e |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4a2t |
называется фундаментальным решением |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
2a |
t |
|
|
|
|
|
|
|
уравнения теплопроводности. Функция G x, ,t удовлетворяет по переменным x,t уравнению (1) на множестве R 0; x R, t 0; .
Докажем, что:
1)Интеграл (3) сходится в D;
2)Функция U x,t удовлетворяет уравнению (1) в D;
3)Функция U x,t удовлетворяет начальному условию (2);
4)Функция U x,t ограничена в D .
Кроме того, заметим (без доказательства), что U x,t C D C2,1 D .
1, 4) Так как функция x ограничена в R, то есть M : x M x R , следовательно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
z |
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
G x, , t |
|
1 |
|
|
e |
|
|
|
2a t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4a2t |
|
||||||||||||||
|
d M |
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
|
|
|
M |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2a |
t |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, G x, ,t d сходится,причём
|
|
||||
G x, ,t d |
|
|
G x, ,t |
|
d M x,t D |
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Следовательно, U x,t ограничена в D.
Докажем пункт (2) формально:
|
|
|
|
|
|
|
|
2a t |
|
|
|||
|
|
|
e z2 dz M x, t D |
|||
|
|
|
|
|
||
|
2a t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
20 | С т р а н и ц а |
Обозначим L |
|
|
|
|
a2 |
|
|
2 |
|
(оператор теплопроводности). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
x,t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
Lx,tU |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
4a t |
d |
... |
|||||
t |
|
x |
2 |
|
2a |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G x, ,t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если интеграл (3) можно продифференцировать 1 раз по t и 2 раза по x под знаком интеграла,то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
a2 |
|
2 |
G x, ,t |
d 0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Следовательно,интеграл (3) удовлетворяет в D уравнению (1).
Докажем,что функция (3) удовлетворяет начальному условию (2), то есть
lim U x,t x x R
t 0
Фиксируем x R .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
z |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a t |
|
|
|
|
|
2a |
|
t |
|
|
|
z2 |
|
|
|
||||
U x,t |
|
|
|
e |
4a2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x 2a t z dz |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
t |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
t |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того,заметим,что x x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
e z2 dz ,тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U x,t x |
1 |
|
|
|
x 2a |
|
z x dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
e z2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиксируем 0 .
x ограничена в R,то есть M : x M x R ,следовательно
x 2at z x x 2at z x 2M
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Интеграл e z2 dz сходится,следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dz |
|
|
|
|
2 |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6M |
|
0 N 0 : e z |
6M |
и e z |
6M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
U x, t x |
1 |
|
|
|
e z2 x 2a |
|
z |
x dz |
|
1 |
|
|
e z2 |
x 2a |
|
z x dz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
e z2 x 2a |
|
z x dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U x,t x |
|
|
|
I1 |
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
x 2a |
|
|
|
z x |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
2M |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I1 |
|
|
e z2 |
t |
dz |
|
|
e z2 dz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6M |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
21 | С т р а н и ц а |
Аналогично показывается,что |
|
I3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Оценим |
|
|
|
|
|
I2 |
|
. |
|
|
Так |
|
|
|
как |
|
|
|
|
|
непрерывна в точке x, то для числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 0 : x : |
|
x |
|
|
|
x x x |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть 2a |
|
t N t |
|
|
|
2a |
|
t z |
2a |
t N z N; N . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4a2 N 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e z dz |
|||||||||||||||
|
I |
|
|
|
|
e z |
|
|
x 2a |
t |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
||||||||||||||||
|
U x,t x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
I2 |
|
|
|
I3 |
|
3 |
3 |
|
|
, 0 t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4a2 N 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,по определению lim U x,t x x R .
t 0
Теорема 1.
Единственность решения задачи Коши (1), (2).
Пусть U1 x,t , U2 x,t непрерывные и ограниченные в D решения задачи Коши
(1), (2), тогда U1 U2 в D .
Рассматриваем x, t U1 x, t U2 x, t .
1)x, t непрерывная в D функция.
2)Функции U1 x,t , U2 x,t ограниченные,то есть M : U1 x,t M , U2 x,t M .
|
|
|
Тогда x, t |
|
U1 x,t U2 x, t |
|
|
|
|
|
U1 x,t |
|
|
|
|
U2 x,t |
|
2M , то есть ограниченная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в |
|
|
функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3) Функции U1 x,t , |
U2 x,t удовлетворяют уравнению (1), следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
тоже удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) |
|
|
t 0 U1 x,0 U2 x,0 x x 0 z R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим область x, t : |
|
|
|
x |
|
L, |
0 t T , где L>0 – произвольное число, и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4M |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функцию V x, t |
|
|
V x, t C . V x,t удовлетворяет однородному |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
a |
t , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнению теплопроводности в |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4M x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
V L, t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2t |
|
2M |
|
|
|
|
a2t 2M |
|
x, t |
x, t D, D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
V x, t |
|
x, t |
|
, |
x L, 0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
2M 2 |
0 |
|
x,0 |
|
|
x L; L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
t 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V x, t , x, t , |
V x, t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
для |
|
функций |
выполнены |
условия теоремы 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(следствия из принципа максимума). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V x, t x, t V x, t x, t |
|
|
|
x, t |
|
V x, t x, t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, t |
|
|
4M x2 |
a |
|
|
|
(4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t x, t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 | С т р а н и ц а |
Рассмотрим |
x, t D . Для этой точки и всех |
t |
|
||
достаточно |
больших L справедливо, что |
T |
x L, 0 t T .
Тогда для всех достаточно больших L |
|
|
|
|
|
|||||||
справедлива оценка (4).Перейдём к пределу в |
|
|
|
|
|
|||||||
неравенстве (4).В результате получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||
–L |
0 |
L x |
||||||||||
|
|
|
4M x2 |
|
||||||||
|
x, t |
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
lim |
|
|
|
a2t 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
L L |
2 |
|
|
|
|
|
|
x,t 0 x,t D
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
23 | С т р а н и ц а |
Лекция № 7.
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.
Пусть струна расположена вдоль оси x и закреплена на концах. Рассматриваем поперечные колебания струны, то есть считаем, что движение струны только в одной плоскости, и любая точка движется вдоль оси Ox .
U x, t – отклонение точки x струны в момент времени t . |
|
|
|||||||||||||||||||||
Рассмотрим малые колебания струны, |
U |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
то есть пренебрегаем U 2 , Ux2 , Ut2 и т. |
|
|
д. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рассмотрим профиль струны U x, t |
|
|
|
в |
|
|
|
|
M1 |
M 2 |
|
||||||||||||
некоторый момент времени t . Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
произвольный малый участок струны x1, x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В момент времени t этот участок принимает |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
положение дуги M1M2 . Найдём длину дуги |
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
M1M2 (предполагая, что функция U x, t дважды непрерывно |
|||||||||||||||||||||||
дифференцируема). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
2 |
|
|
1 |
U |
2 |
dx dx x x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
1 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
длина x1 , x2 |
|
|
|
|
|||
То есть удлинения струны в процессе колебания при изменении |
|||||||||||||||||||||||
времени не происходит. Следовательно, |
натяжение T x,t T x |
струны не |
|||||||||||||||||||||
зависит от времени. Обозначим через T x |
и T U проекции натяжения T x на |
||||||||||||||||||||||
оси x и U соответственно. |
|
Обозначим через |
угол между касательной к |
||||||||||||||||||||
кривой U x, t и осью x ( зависит от x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
T x T x cos |
T U |
T x sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
tg U x cos |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 U |
x 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 tg 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
sin cos tg U 1 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T x |
T |
T x U |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма проекций всех |
|
сил на |
участок |
по |
оси x равна |
0. Так как |
колебания поперечные: натяжение, инерции, возможно ещё и внешняя сила. Проекции внешней силы и силы инерции равны 0, так как колебания
поперечные. Следовательно, проекция на Ox и сила натяжения, |
||
действующая на участок x1, x2 , тоже равны 0. |
|
|
T x x2 T x x1 0 |
|
|
T x2 T x1 0 T x2 T x1 |
|
то T x const T0 . |
Так как x1 и x2 – произвольные точки струны, |
||
Рассмотрим проекцию на ось U . |
|
|
Проекция натяжения на OU Y1 T u x2 T u x1 T0Ux x2 |
T0Ux x1 |
x2 |
T0Uxxdx |
||
|
|
|
|
|
x1 |
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
24 | С т р а н и ц а |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
Проекция внешней силы на OU |
Y2 |
F x,t dx , |
где F |
– плотность внешней |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
силы, то есть |
сила |
. Полагаем, что F непрерывна. |
|
|||||||||||
ед. длины |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проекция силы инерции на OU |
Y3 |
|
x2 |
Utt x dx , где |
– плотность струны. |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
a |
m |
|
|
||
Полагаем, что непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По закону Ньютона Y1 Y2 Y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
x,t dx |
x2 |
F x,t |
dx |
x2 |
|
x,t x dx |
||||
|
|
|
T U |
|
|
U |
||||||||
|
|
0 |
xx |
|
|
|
|
tt |
|
|
||||
|
|
x1 |
|
|
x1 |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
T U x,t F x,t U x,t x dx 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
xx |
|
|
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
x,t Utt x,t x непрерывна на x1, x2 , то по |
||||||||
Так как функция T0Uxx x,t F |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме о среднем x |
|
x1, x2 : 0 |
|
x2 |
|
|
|
|
F x,t Utt x,t x dx |
|
||||||
|
T0U xx x,t |
|
||||||||||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T U x*,t F x*,t U x*,t x* |
|
|
|
x1 |
x x 0 T U x*,t F x*,t U x*,t x* 0 |
|||||||||||
x x |
||||||||||||||||
0 xx |
tt |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
1 |
0 xx |
tt |
|||||
Устремим x2 x1 |
x x1 . В силу непрерывности функций Uxx |
, F, Utt , : |
||||||||||||||
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T U |
x ,t F x ,t U x ,t |
x 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
0 xx |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
tt 1 |
1 |
|
|
Так как x1 |
– произвольная точка струны, а t – произвольный момент |
|||||||||||||||
времени, то уравнение поперечных колебаний струны имеет вид: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
U x TU |
|
F |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
tt |
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
Если x const 0 a2 |
T |
, |
f |
F |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
U |
a2U |
|
f |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
tt |
|
xx |
|
|
|
|
|
|
Если внешней силы нет, то уравнение принимает вид: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U a2U |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tt |
xx |
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
25 | С т р а н и ц а |
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.
Краевая задача для уравнения Utt |
a Uxx состоит в том, чтобы найти |
|
2 |
решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.
Начальное условие имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
t 0 |
x |
|
|
|
U |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задан начальный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
профиль x струны |
|
задана начальная |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
скорость x струны |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Будем рассматривать только два вида граничных условий. Пусть x 0 – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
конец струны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Граничное условие I рода (конец движется по закону t ): |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
x 0 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Если t 0 , то говорят, что конец жёстко закреплён. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2) Граничное условие II рода (задана сила натяжения): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если t 0 , то говорят, что конец свободен. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом, I краевая задача для струны 0 x l |
имеет вид: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
U2 |
|
|
a2 U2 , 0 x l, 0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
x , |
|
|
x , 0 x l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
t , U |
|
|
|
|
t , 0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x l |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x l, 0 t T , |
|
|
|
|||||
|
Функция U должна быть непрерывна в |
|
имеет в |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывную производную |
|
U |
, имеет в производные |
2U , |
2U . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
x2 |
|
|
|
||||
|
II краевая задача имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
a2 U |
, 0 x l, 0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
U |
|
|
|
|
|
x , |
U |
|
|
|
x , 0 x l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
t , |
|
|
U |
|
|
|
t , 0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Требуем, чтобы функции U , |
U |
|
|
U |
были непрерывны в |
|
, |
а функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2U , |
2U непрерывны в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
26 | С т р а н и ц а |
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. МЕТОД ФУРЬЕ.
Рассмотрим задачу:
|
2U |
a |
2 2U |
|
1 |
|||||
|
t |
2 |
x |
2 , 0 x l, 0 t T |
|
|||||
|
|
|
U |
|
|
|||||
U |
|
|
|
x , |
x , 0 x l |
2 |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
t 0 |
|
|
|
t |
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0, U |
|
x l 0, 0 t T |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
U |
|
x 0 |
|
3 |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти функцию, непрерывную в |
|
, имеющую |
в |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
непрерывную производную |
U |
и непрерывные в производные |
2U |
, |
2U , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
x2 |
||
удовлетворяющую (1) – (3). |
|
|
0;l , 0 l |
|
|
|
|
|
|
0;l , |
||||||||||
Предполагаем, |
|
что |
|
3 |
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
C |
0, 0 l 0, C |
||||||||||||||||||
0 l 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решим задачу |
методом |
Фурье, то есть |
решение ищем |
в |
|
виде |
||||||||||||||
U x,t X x T t . Подставляем функцию в уравнение (1): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
X x T t a2 X x T t , 0 x l, 0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
T t |
|
X x |
|
|
|
|
|
|
|
x l |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
X x X x , 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 x l, 0 t T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
X x |
|
|
|
|
|
t T |
|
|
|
|
|
|||||||
|
a T t |
|
|
|
|
|
|
T t a2T t , 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем функцию U x,t X x T t в граничные условия (3):
X 0 T t 0, 0 t T X 0 0
X l T t 0, 0 t T X l 0
Получаем задачу Штурма-Лиувилля:
X x X x , 0 x lX 0 X l 0
Решения этой задачи:
X |
n |
x sin n x |
, |
n 1, 2, 3... |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
n |
|
n 2 |
n 1, |
|
||
|
, |
2, 3... |
||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
na 2 |
t , |
n 1, 2, 3... . |
Следовательно Tn t |
Tn |
|||
|
|
l |
|
|
|
na 2 |
Tn |
0 Tn |
na |
|
na |
|
||
Tn |
|
t Cn sin |
l |
t |
Dn cos |
l |
t |
||
|
l |
|
|
|
|
|
|
Un X n x Tn t – частные решения уравнения (1), удовлетворяющие нулевым
граничным условиям (3). Составляем формальный ряд:
U x,t
n 1
n |
|
na |
|
Dn |
na |
|||
sin |
|
x Cn sin |
|
t |
cos |
|
||
|
l |
|
|
l |
|
|
|
l |
|
(4) |
t |
|
|
|
Если он сходится в и его можно почленно дифференцировать в
два раза по x и два раза по t , то U x,t |
удовлетворяет уравнению (1) (как |
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
27 | С т р а н и ц а |
сумма частных решений) и граничным условиям (3). Подставим (4) в начальные условия (2):
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
t 0 sin |
Dn |
|
5 |
||||
n 1 |
|
l |
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
||
U |
|
|
|
na |
nx |
|
||
|
|
|||||||
t |
|
|
|
sin |
Cn |
6 |
||
|
t 0 |
n 1 |
l |
l |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
Коэффициенты рядов Фурье для функций x
вычисляются по формулам:
|
|
2 l |
nx |
|
|
||||
x n |
|
|
|
|
x sin |
dx, |
n 1, 2, 3... |
||
|
|
||||||||
|
|
|
l |
|
0 |
|
l |
|
|
|
|
|
2 l |
na |
nx |
|
|||
x n |
|
|
|
|
x |
|
sin |
dx, |
n 1, 2, 3... |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
l |
|
0 |
l |
l |
|
|
и x по |
|
nx |
sin |
|
|
|
|
l |
(7)
Равенства (5) и (6) выполнены, если:
Dn |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
na |
|
C |
|
|
l |
|
(8) |
|
|
|
|
|
|||||||
n |
n |
n |
na |
n |
||||||
|
l |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, формальное решение задачи (1) – (3) имеет вид ряда (4), где коэффициенты вычисляются по формулам (7), (8).
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
28 | С т р а н и ц а |
Лекция № 8.
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.
|
|
U x,t |
|
|
n |
|
|
|
|
na |
|
|
|
l |
na |
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
n |
cos |
t |
|
n |
|
sin |
t |
|
(10) |
||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
na |
l |
|
|
||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Докажем, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Ряд (10) |
сходится в |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Сумма ряда (10) непрерывна в |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Ряд (10) |
можно дифференцировать в 2 раза по x и 2 раза по t ; |
4. 2U , 2U непрерывны в ;
t2 x2
5. Ut непрерывна в .
Докажем,что ряд (10) сходится равномерно в .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un |
x,t |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
sin |
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
na |
|
|
|
n |
|
|
|||||
cos |
t |
|
|
|||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
l
na
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
na |
|
|
|
n |
|
|
|||||||
sin |
|
t |
|
|
|||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
x,t |
|
, n 1, 2, 3, ... |
|
n |
|
|
||||||
|
|
na |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из условий на функцию следует,что |
|
n |
|
сходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из условий на функцию следует, что |
|
n |
|
сходится, следовательно, и ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
, n 1,2,3,... |
|
|
n |
|
|
|
сходится (по признаку сравнения). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
na |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
na |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким |
|
|
|
образом, ряд |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
тоже сходится. По признаку |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
na |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вейерштрасса ряд (10) сходится равномерно в ,следовательно:
1.Ряд (10) сходится в ;
2.Так как, кроме того, Un x,t непрерывны в , то сумма ряда (10) непрерывна в .
|
U |
|
U |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Докажем,что |
|
|
, |
|
|
сходятся равномерно в |
|
. |
|
n |
|
n |
|
||||
t |
2 |
x |
2 |
|||||
n 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2Un
x22Un
t 2
|
n 2 |
|
|
n |
|
n |
|
|
na |
|
|
|
|
n |
|
l |
|
|
|
na |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
cos |
|
|
t |
|
|
|
na |
sin |
|
|
t |
|
|
||||||
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
||||
|
na 2 |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
na |
|
|
|
|
n |
l |
|
|
|
na |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
cos |
|
|
t |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
t |
|
|||||
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
na |
|
l |
|
|
|
Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru |
29 | С т р а н и ц а |