Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Лекции_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Курс лекции

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

6 семестр

Лектор Черепова Марина Фёдоровна

Москва,2011

Лекция № 1.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.

Основные уравнения математической физики:

Волновое уравнение (колебательные процессы).

Уравнения теплопроводности (распределения тепла, диффузия).

Уравнение Лапласа (стационарные процессы).

Рассмотрим линейное уравнение 2-ого порядка:

a x, y 2U

2b x, y

c x, y

e x, y U

h x, y U d x, y U f x, y 0

(1)

x y

Уравнение (1) линейное, т. к. функция U и её производные в первой степени. Предполагается, что U x, y дважды непрерывно-дифференцируема в области .

От переменных x, y перейдём к переменным , :

x, yx, y

Предполагаем, что x, y и x, y тоже дважды непрерывно дифференцируемы и

якобиан D

в области .

U 2

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

1 | С т р а н и ц а

2U 2

U 2

x x

Т . к. , C2

U 2

y x

x y

y x

x y

U 2

x y

U 2

x y

Подставляем полученные равенства в (1):

U 2

x x

U 2

x y

	2U				2		2U
c		2				2
c						2
								y	y
				y				y	y

	U				U				U
e								h
			x
			x				x

U 2

dU f

A ,

x y

x x

y x

C ,

2b c

U a

e h

x y

2 2b

dU f 0

x y

В итоге, получили линейное уравнение, эквивалентное исходному:

A , 2U

2B , 2U C , 2U2

	U	,	U	0	(1’)
F , ,U ,		,		0	(1’)

Младший член

Можно ввести такую замену, чтобы A , 0 и уравнение (1’) имело бы наиболее простую форму.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

2 | С т р а н и ц а

Лемма.

Функция z x, y является частным решением уравнения:

a zx		2b zx	zy	c zy		0 (2)
	2				2

тогда и только тогда, когда соотношение x, y C, C const является общим

интегралом обыкновенного дифференциального уравнения следующего вида:

			a dy 2		2bdxdy c dx 2 0		(3)
		z x, y
	Функция	z x, y		–	решение уравнения (2). По определению, это
		2				2
означает,что a x			2b x	y	c y	0 в области .
								и
Так как D 0 и дважды непрерывно дифференцируема в области ,то x								и

	одновременно не обращаются в ноль в некоторой окрестности каждой
y
точки области. Для простоты предположим, что							0	во всей области ,
точки области. Для простоты предположим, что						y	0	во всей области ,
					2
тогда можем поделить уравнение на y					:
		2	2b					(4)
	a	x	2b	x c 0 в области .				(4)

		y		y

Так как

во

всей

области

следовательно,

существует

неявная

функция

y g x, C

(которая

задана

соотношением

x, y C ),

причём

x, y

функция дифференцируема и dx

x, y

y g x,C

Рассмотрим выражение

2b dx

c a

c 0

y g x,C

Следовательно,

y g x, C

–

общее

решение

обыкновенного

дифференциального уравнения (3).

Следовательно,

x, y C,

C const

является

общим

интегралом

обыкновенного дифференциального уравнения (3).

Аналогично.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

3 | С т р а н и ц а

Лекция № 2.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.

Определение 1. Уравнение

a dy 2 2bdxdy c dx 2 0

(3)

называется характеристическим для дифференциального уравнения

a x, y 2U 2b x, y

c x, y 2U

e x, y U h x, y U d x, y U f x, y 0

(1),

x y

а его общие интегралы называются характеристиками уравнения (1).

Рассмотрим характеристическое уравнение (3). Пусть a 0 или

c 0 .

Для определённости пусть a 0 . Поделим исходное уравнение (3) на dx 2 :

dy 2

b b2

Возможны три случая:

b2 ac 0

рассматриваемой области , тогда уравнение (1)

называется уравнением гиперболического типа в области .

b2 ac 0

рассматриваемой области , тогда уравнение (1)

называется уравнением эллиптического типа в области .

b2 ac 0

рассматриваемой области , тогда уравнение (1)

называется уравнением параболического типа в области .

Справедливо следующее равенство:

B2 AC b2 ac D2

Так как D 0 , то знак выражений B2 AC

и b2 ac один и тот же, т. е.

определение типа уравнения инвариантно (не зависит от) относительно преобразований координат, если D 0 .

Рассмотрим каждый тип отдельно.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

4 | С т р а н и ц а

1. Гиперболический тип.

b2 ac 0 в рассматриваемой области . Следовательно, характеристическое уравнение (3) имеет два семейства действительных линейно-независимых

(ЛНЗ) характеристик:

~ x, y C

C const

Полагаем

x, y A 0 (следует из леммы)x, y C 0 (следует из леммы)

Тогда уравнение (1’) в случае b2 ac 0 имеет вид:

2B , 2U F 0

Поделим это уравнение на B , . Имеем право, так как B 0 , иначе B2 AC 0 b2 ac 0 противоречие.

Получили канонический вид гиперболического уравнения (первая форма):

2U	,	F
	,	2B
		2B

Сделав ещё одну замену

получим вторую форму:

2U		2U	~
2		2	,

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

5 | С т р а н и ц а

2B 2U C 2U2

2. Эллиптический тип.

b2 ac 0 в рассматриваемой области . Следовательно, характеристическое уравнение (3) имеет два семейства комплексно-сопряжённых

характеристик:

~ x, y C

* ~ x, y C

C const

Полагаем

x, y A 0 (следует из леммы)* x, y C 0 (следует из леммы)

Но при этом уравнение становится комплексным. Чтобы избавиться от комплексной переменной, сделаем ещё одну замену:

* Re 2

* Im 2i

0 A a

i 2

c i 2

x y

2 2b

c 2

2i a

c a 2

c 2

x y

x x

x y

y x

y y

x y

A C 0 A C

2B 0 B 0

A 2U

	0		2U		2U		0

F		A		A		F
			2		2

Заметим, что A 0 , иначе С 0 , следовательно, изменится тип уравнения, но при замене тип должен сохраняться.

Получили канонический вид эллиптического уравнения:

2U	2U
		,	F
2	2
			A

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

6 | С т р а н и ц а

3. Параболический тип.

b2 ac 0 в рассматриваемой области . Следовательно, характеристическое

уравнение (3) имеет только одно семейство действительных характеристик:

~ x, y C

C const

Полагаем

x, y A 0 (следует из леммы)

x, y , x, y C2 : D 0

b2 ac 0 b2 ac a и с одного знака. Пусть, для определённости, a 0, c 0 ,

тогда b a c . Рассмотрим b a c . Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Имеем

0 A a

a 2

c 2

2 a c

x y

a x

c y

(*)

B a

x x

x y

y y

x x

x y

y y

Тогда уравнение (1’) в случае b2 ac 0 имеет вид:

C , 2U F 02

Поделим это уравнение на C , . Имеем право, так как C 0 , иначе уравнение не будет уравнением второго порядка.

Получили канонический вид параболического уравнения:

2U	,	F
2		C

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

7 | С т р а н и ц а

Лекция № 3.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

Рассмотрим процесс распространения тепла в твёрдом теле. Обозначим через U x, y, z,t температуру тела в точке с координатами

x, y, z в момент времени t .

Выделим в теле произвольно малый объём V, ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S. Подсчитаем баланс тепла в этом объёме за произвольный период времени t t2 t1 .

Количество тепла, поступающее через единицу площади за единицу времени обозначим q k Un , где k – коэффициент теплопроводности, n –

нормаль к S, Un – производная по нормали (нормаль внутренняя, т. к.

направления нормали и потока совпадают).

Тогда количество тепла, поступающее через элемент S за время t :

Q k	U	S t
Q k	n	S t
	n
Количество тепла, поступающее в V за время t :
t		U dS
Q1 2 dt k		U dS
t1	S	n

Кроме того в объём V может поступать тепло (или выделяться тепло) за счёт внутренних источников. Пусть F x, y, z,t – плотность внутренних

источников, тогда количество тепла за счёт внутренних источников за время

t :

			t2
		Q2	dt F x, y, z,t dxdydz
			t1	V
С	другой	стороны,		чтобы	нагреть	V	на	величину
tU U x, y, z,t t U x, y, z,t			нужно сообщить телу				количество тепла

Q3 C tU V , где C – удельная теплоёмкость, – плотность. Если тело неоднородное, то Q3 C tU dxdydz .

Составим уравнение баланса:

Q1 Q2

dt k

U dS 2

dt F x, y, z,t dxdydz tUC dxdydz

Предположим, что U C2 V

а функции F,C, C V

, k C1

, тогда:

grad U , n k

grad U , n

dS k grad U , n

по теореме

div k grad U dxdydz

Острог радског о Гаусса

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

8 | С т р а н и ц а

dt div k grad U dxdydz

Q1 2

U U x, y, z, t t U x, y, z, t

по теореме

U x, y, z, t

t, t

Лаг ранжа

Q3 C U

x, y, z, t3 dxdydz t

Подставляем:

dt F x, y, z,t dxdydz C U x, y, z,t3 dxdydz t

dt div k grad U dxdydz 2

В силу условий на функции можем применить теоремы о среднем для

кратного и определённого интегралов:

t5 t1,t2

M1,

M 2 , M3 V ,

t4 ,

div k grad U

t V F

t V C U

t V

M1 ,t4

div k grad U

C U

M 3 ,t3

F M

M1 ,t4

M 3 ,t3

Формируем произвольную точку M V , стягиваем объём V в точку M,

устремляем t 0 . Тогда M1,

M2 , M3 M ,

t2 t1

t3 ,

t4 , t5 t1 .

Так как функции из (*) непрерывны по совокупности переменных, то

получаем, что:

lim div k grad U

div k grad U

M1 ,t4

M ,t1

M1 M

t 0

lim F M 2 ,t5

F M ,t1

M 2

t 0

lim

C U

M 3

M 3 ,t3

M ,t1

t 0

Так как

M V –

произвольная точка,

а t1

–

произвольный момент

времени, то уравнение, описывающее процесс распространения тепла имеет вид (уравнение теплопроводности):

div k grad U F C U

Если k const , то div k grad U k div grad U k U , где U – оператор Лапласа.

U a2 U ft

a2 Ck – коэффициент температуропроводности, а f показывает, есть ли в теле внутренние источники тепла.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

9 | С т р а н и ц а

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб240Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб75Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб101Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб70Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб379Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб20Экзаменационная программа.doc