Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Лекции_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

x,t

n 1,

3, ...

a 2

x,t ,

n 1,

2, 3, ...

t 2

Из условий на функцию следует,что n2

сходится.

n 1

Из условий на функцию следует,что n

сходится.

n 1

Тогда

сходятся

, а,

ряды

n 1

i 1

следовательно,ряды

сходятся равномерно.

n 1

i 1

Следовательно:

Ряд (10) можно дифференцировать в 2 раза по x и 2 раза по t ;

Так

как,

кроме

того,

2Un

непрерывны

то

непрерывны в .

Аналогично получаем,что Ut

непрерывна в

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

30 | С т р а н и ц а

ЗАДАЧА КОШИ.

Обозначим D x,t : x R, 0 t T .

Задача Коши состоит в том, чтобы найти функцию U x,t , непрерывную

и ограниченную в замкнутой области в D , удовлетворяющую уравнению колебания струны:

2U			a2 2U		, x,t D	(11)
t2				x2
и начальным условиям:
U				x ,	x R	(12)
U				x ,	x R
U				x ,	x R
		t	0
	t
			t 0
			t 0

Найдём общее решение уравнения (11). Составляем характеристическое уравнение для уравнения (11).

dx 2 a2 dt 2 0 dx a dt x xt C

x at C

Характеристики x at C

Делаем замену:

x atx at

Тогда уравнение (11) примет вид

2 ~

f U

f d

"константа "

интегрирования

, F G

~ – сложная функция.

Получаем общее решение уравнения (11), где F, G – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции:

U x,t F x at G x at

Используем начальные условия (12):

U t 0 F x G x x

Ut t 0 a F x a G x x

F x G x

F z dz

G z dz x

z dz, x,

x произвольные точки из R

F x F x0 G x G x0 1 x z dz a x0

x G x 1a x z dz C1, C1 F x0 G x0

x G x x

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

31 | С т р а н и ц а

F x

1 x

2a z dz

G x

1 x

2a z dz

U x,t F x at G x at

x at

dz 2

z dz 2

x at x at

x at

z dz

x at

Таким образом, решение задачи Коши (11), (12) даётся формулой

(формула Даламбера):

U x,t

x at x at

x at

z dz

x at

Устойчивость решения задачи Коши.

Пусть U x,t – решение задачи (11), (12), а функция U * x,t – решение

задачи:

x,t D

* x , U

* x ,

U *

x R

t 0

0,T ,

Докажем, что

где

–

фиксировано

0 : если

x * x

x R , то

U x,t U * x,t

x,t

U x,t x at x at

x at

z dz

* x at * x at

1 x at

U * x,t

* z dz

x at

x at * x at

x at

U x,t U * x,t

z * z

x at

x at * x at

x at

z * z

x at

2 t

T , 0

t T ,

если

1 T

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

32 | С т р а н и ц а

Лекция № 9.

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ.

Рассмотрим краевую задачу для полуограниченной струны 0 x :

0, 0

t T

2 , x

x , U

x , x 0

t 0

0, 0 t T

x 0

Предположим, что C2 0; , C1 0; , 0 0 .

Продолжим функции x ,

x нечётным образом на ;0 :

x ,

x 0

x , x 0

x ,

x 0

x , x 0

Рассмотрим функцию:

x at x at

x at

U x,t

z dz , где x R,

0 t T

U x,t

x at

Следовательно,

удовлетворяет

уравнению

(1)

x R, 0 t T

и начальным условиям:

U x,t

t 0 x , Ut

t 0 x , x R

Следовательно,

удовлетворяет

уравнению

(1)

x 0,

0 t T и начальным условиям (2), так как при x 0 :

x x

Рассмотрим

at at

z dz Используем нечѐтность

x 0

функций и

at at

at z dz 0

2a at

(4)

на множестве

Таким образом, формула (4) является решением задачи (1) – (3). Вернёмся в (4) к функциям x , x . Заметим, что x at x at для

x 0, 0 t T . Рассмотрим два случая:

1. x 0, t ax x at 0 x at x at

x at		x at

	z dz z x at 0 z dz
x at		x at

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

33 | С т р а н и ц а

x at x at

x at

Следовательно, U x,t

z dz , если x 0,

x at

2. x 0, t

x at 0 x at at x

x at

z dz

x at

z dz

0 d

x at

d dz

at x

x at

z dz z dz

x at

z dz

d z dz

x at

at x

x at at x

x at

Следовательно, U x,t

z dz , если x 0,

at x

Таким образом, решение задачи (1) – (3) имеет вид:

x at

x at x at

z dz, x 0, t

2a x at

U x,t

x at

x at at x

z dz, x 0, t

2a at x

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

34 | С т р а н и ц а

0 x l

ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.

Найдём выражение для энергии малых поперечных колебаний струны. Предполагаем, что в некоторый момент времени струна находится в положении равновесия, то есть U x,0 0, 0 x l .

Предполагаем, что концы струны жёстко закреплены.

E = K + U, где K – кинетическая энергия, U – потенциальная энергия. Элемент струны dx , движущийся со скоростью Ut , обладает

кинетической энергией:

12 m 2 12 x dx Ut 2 , где x C 0;l – плотность струны. Следовательно, кинетическая энергия всей струны:

K1 l x Ut 2 dx

2 0

Фиксируем любой момент времени t0 и пусть U0 x U x,t0 – профиль струны в момент времени t0 . Найдём работу по перемещению струны из положения равновесия в положение U0 x . Следовательно, U = –A.

T0 Ux

Элемент

струны

под

действием

силы

натяжения

x dx

Uxxdx за время dt

перемещается на величину Ut dt .

Тогда

по

за

время

будет

равна

работа

перемещению

T0Uxxdx Ut dt

(предполагаем, что функция U C2 ). Следовательно, работа по перемещению

всей струны за время равна:

T U

U dx

Следовательно, работа по перемещению всей струны за время t0 :

интег рирование

dt T U U

T U U dx

T U

U dx

0 xx

по частям

0 x t

0 xt x

Заметим,

0 , так как это работа по перемещению конца x 0

что T0U xUt dt

x 0

за время t0

и так как конец x 0

0 .

жёстко закреплён. Аналогично T0U xUt dt

x l

T U U

Так как

, значит

2UxUxt

1 t0

по формуле

2 0

Ньютона Лейбница

x,t

x,0 dx

2 0

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

35 | С т р а н и ц а

Ux x,t0

U0 x

U x,0 0 x 0;l U

x,0 0

T U

x dx

Следовательно, потенциальная энергия в момент времени

1 l

T0 Ux x,t0 dx .

Так

как t0

–

любой момент

следовательно, потенциальная энергия в момент времени t :

T U x,t 2 dx

Выражение для энергии колебаний струны:

1 l

x Ut

T0 Ux

(5)

t0 равна времени,

Интеграл (5) называется интегралом энергии для уравнения колебаний струны.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

36 | С т р а н и ц а

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ.

Рассмотрим первую краевую задачу:

, 0 x l, 0 t T

x , U

x , 0 x l

t 0

0, U

x l 0, 0 t T

x 0

Предполагаем, что C2 0;l , C1 0;l , 0 l 0 .

Теорема 1.

0;l 0;T

Пусть

U x,t ,

x,t C2

– решения

задачи

(6)

– (8). Тогда

U1 x,t U2 x,t , 0 x l, 0 t T .

Рассмотрим функцию w x,t U

x,t U

x,t w C2

0;l 0;T

и w – решение

задачи:

w , 0 x l, 0 t T

x , w

x , 0 x l

t 0

0, w

x l 0, 0 t T

x 0

Запишем интеграл энергии для w ,являющийся решением (9) – (11):

E t

1 l

x w 2 T w 2 dx

0 x

Докажем,что E t 0

t .

dE t

2 l x w w T w w dx

tt t

0 xt

интег рирование T w w

T w w dx

0 xt

по частям

0 x

0 xx

Из граничных условий:

w 0,t 0 t wt

0,t 0

T w w

w l,t

0 t w l,t 0

0 x

интег рирование T w w

T w w dx

0 xt

по частям

0 x

0 xx

Следовательно

dE t

l x w

T w w dx 0 t

0 xt

1 l

Таким образом, E t const t E t E 0

dx .

T0 wx

t 0

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

37 | С т р а н и ц а

wt	0
	t 0
	t 0
w x,0 0 w			0
w x,0 0 w			0
	x		t 0
			t 0			dx 0 t
			l	T0	wx
Следовательно E t E 0 0 t x wt				T0	wx
			2			2
		0

Так как под интегралом непрерывная функция,следовательно

x w 2		T	w	2	0			0 w x,t
						wt
	t	0	x				w	0

0		0					x

w x,0 0 w x,t 0 x 0;l t 0;T

const x 0;l t 0;T

U1 x,t U2 x,t , 0 x l, 0 t T

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

38 | С т р а н и ц а

Лекция № 10.

УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

Уравнение Лапласа имеет вид:

U 0	, где	2	2	2	– оператор Лапласа.	(1)
		x2	y2	z2

Определение 1.						если U C2 и
Функция U называется гармонической в области ,

удовлетворяет уравнению (1) в . Здесь – ограниченная область из R3 .

Обозначим (граница области).

Первая краевая задача (или задача Дирихле) для уравнения Лапласа состоит в том, чтобы найти функцию U C C2 , удовлетворяющую

уравнению (1) в и граничному условию I рода:

U M

Вторая краевая задача (или задача Неймана) для уравнения Лапласа состоит в том, чтобы найти функцию U C1 C2 , удовлетворяющую

уравнению (1) в и граничному условию II рода:

U	M	(n – единичная внешняя нормаль к )

n

Физический смысл – распределение тепла в пластине.

Захаров Антон, А-13-08 | http://a1308.ru

39 | С т р а н и ц а

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб240Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб75Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб101Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб71Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб381Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб20Экзаменационная программа.doc