Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Типовые

.pdf

Скачиваний:

379

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

652.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

u(r,ϕ ) = ∑ J n (kr)(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ )) .

Учитывая случай с λ=0, последнее уравнение запишем в виде

u(r,ϕ ) =

A0 J 0 (kr)

+ ∑ J n (kr)(An

cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))

n=1

Подставляя сюда начальное условие

u(16,ϕ ) =

A0 J 0 (16k)

∑ J n (16k)(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ )) = sin 3 (ϕ )

n=1

и учитывая свойства тригонометрических функций

cos3 (ϕ ) =

3cos(ϕ ) + cos(3ϕ )

;

sin 3 (ϕ ) =

3sin(ϕ ) − sin(3ϕ )

получим

3sin(ϕ ) − sin(3ϕ )

u(16,ϕ ) =

A0 J

0 (16k)

+ ∑ J n (16k)(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ )) =

n=1

откуда видно, что все константы An=Bn=0 кроме

B1 =

; B3 = −

4J1 (16k)

4J3 (16k)

Поэтому решение исходного уравнения имеет вид

3J1

(kr)

J3 (kr)

u(r,ϕ ) =

sin(ϕ )

−

sin(3ϕ ) .

4J1 (16k)

4J3 (16k)

Задача 23. Найти функцию, удовлетворяющую внутри шара уравнению

Гельмгольца и на границе заданному условию.

u + 25u = 0 ;

0≤r<π;

∂u

= cosθ .

∂r

r =π

Решение.

Уравнение Лапласа

u + 25u = 0

заменой переменных x=r cos(ϕ)sin(θ), y=r sin(ϕ)sin(θ) , z=r cos(θ)

можно привести к сферическим координатам:

1 ∂

∂u

∂

∂u

∂ 2u

sin(θ )

r 2

r 2 sin

2 (θ ) ∂ϕ 2

r 2 ∂r

∂r

sin(θ ) ∂θ

∂θ

Будем искать решения этого уравнения в виде

u(r,ϕ ,θ ) = R(r)Ω(ϕ ,θ ) .

Подставляя это выражение в уравнение Гельмгольца

u + a 2 u = 0

имеем

1 ∂

∂R

∂

∂Ω

∂ 2 Ω

Ω +

sin(θ )

r 2

r 2 sin

2 (θ ) ∂ϕ 2

r 2 ∂r

∂r

sin(θ ) ∂θ

∂θ

Здесь a 2 = 25 . После деления на R(r)Ω(ϕ ,θ ) :

+ 25u = 0 .

+ 25RΩ = 0 .

∂

∂R

∂

∂Ω

∂ 2 Ω

+ 25r

sin(θ )

sin(θ ) ∂θ

sin 2 (θ ) ∂ϕ 2

∂r

∂θ

−

= −λ

получим систему

∂

∂Ω

∂ 2 Ω

sin(θ )

+ λ

Ω = 0 ,

sin(θ ) ∂θ

∂θ

sin 2 (θ ) ∂ϕ 2

r 2 R"(r) + 2rR'(r) + (a 2 r 2 − λ2 )R(r) = 0 .

Решения первого уравнения системы будем искать в

виде Ω(ϕ ,θ ) = Φ(ϕ )Θ(θ ) , тогда

разделяя переменные

sin(θ )

∂

∂Θ

1 ∂ 2 Φ

sin(θ )

+ λ

sin

(θ ) = −

= μ

Θ ∂θ

Φ ∂ϕ 2

∂θ

для уравнения

Ф”( ϕ)+μ2 Ф(ϕ)=0, Ф(ϕ)=Ф(ϕ+2π)

получим задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных

значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

Φ(ϕ ) = A cos(μϕ ) + B sin(μϕ )

с использованием краевых условий получаем собственные числа

μ=n

и собственные функции

Φ n (ϕ ) = An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ) .

Для переменной Θ(θ ) имеем уравнение

∂

∂Θ(θ )

+ (λ

)Θ(θ ) = 0

sin(θ )

∂θ

sin

(θ ) − μ

∂θ

полагая в котором ξ=cos(ϕ) и обозначая Θ(θ ) = Y (cosθ ) = Y (ξ ) , получаем

∂

]

∂Y (ξ )

n 2

− ξ 2

λ2

−

Y (ξ ) = 0 .

∂ξ

1 − ξ

∂ξ

Это уравнение имеет ограниченные на отрезке [-1;1] решения тогда, и только тогда, если

λ = n(n + 1)

и этими решениями являются функции

P k (ξ ) = [1 − ξ 2

]k / 2

d k Pn (ξ )

dx k

где Pn (ξ ) , n=0,1,2,… -

полиномы Лежандра:

P (ξ ) =

d n

([ξ 2 − 1]n ),

1 P (ξ )P (ξ )dξ =

2δ kn

2n n! dξ n

∫

+ 1

−1

Таким образом, уравнение для Ω(ϕ,θ ) имеет решение

Ω(ϕ ,θ ) = A0 Pn (cosθ ) + ∑(Ak cos(kϕ ) + Bk sin(kϕ ))Pnk (cosθ ) .

Для решения второго уравнения системы:

r 2 R"(r) + 2rR'(r) + (a 2 r 2 − λ2 )R(r) = 0

введем новую функцию

R(r) = z(r) .

Теперь его можно переписать в виде

r 2 z"(r) + rz'(r) + (a 2 r 2 - [n +1/ 2]2 )z(r) = 0 .

Ограниченные в нуле решения этого уравнения есть z(r) = CJ n+1/ 2 (ar) .

Таким образом, для уравнения Гельмгольца

Du + a 2 u = 0

построено решение

n
u(r,ϕ ,θ ) = ∑∑ J n+1/ 2 (ar) (Akn cos(kϕ ) + Bkn sin(kϕ ))Pnk (cosθ ) .
n k	r

Прежде чем использовать граничные условия, возьмем производную от этой функции по переменной r:

¶u

n +1 / 2

(ar)

n +1 / 2

(ar)

¶r

= ∑∑

(Akn cos(kϕ ) + Bkn sin(kϕ ))Pn

(cosθ ) .

n k

Используя свойства функции Бесселя

dJn (x)

Jn (x) - Jn +1 (x)

перепишем последнее выражение в виде

ur (π ,ϕ,θ ) =

∑

Jn+1 / 2 (ar) - Jn+1+1/ 2 (ar) ∑(Akn cos(kϕ ) + Bkn sin(kϕ ))Pn (cosθ ) .

Подставляя в него граничное условие, получим

ur (π ,ϕ ,θ ) =

∑

Jn +1/ 2 (aπ ) - Jn +1+1 / 2 (aπ ) ∑(Akn cos(kϕ ) + Bkn sin(kϕ ))Pn

(cosθ ) = cosθ .

Учитывая, что только

(cosθ ) = cosθ

получим

u (π ,ϕ,θ ) =

1+1/ 2

(aπ ) - J

1+1+1/ 2

(aπ ) (A cos(0 ×ϕ ) + B

sin(0 ×ϕ ))P

(cosθ ) = cosθ

или

J3 / 2 (aπ ) - J5 / 2

(aπ ) A01

= 1 .

Пользуясь разложением для функции Бесселя

sin(x)

J3 / 2 (x) =

- cos(x) ,

πx

(x) =

-1 sin(x) -

cos(x)

5 / 2

πx

и учитывая, что a=5 получим

			1 sin(5π )
1		2	1 sin(5π )							3				3
					- cos(5π ) -							-1 sin(5π ) -			cos(5π ) A		= 1


			π	5π						2				5π		01
	π π 5π		π	5π					(5π )					5π
или
								1
					1		2	1		3
									-			A01	= 1
											5π
						π π	5
						π π	5	π

откуда видно, что все коэффициенты Ank =Bnk=0 кроме

		5π 3 / 2
A01	= π		.

		2

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид

u(r,ϕ ,θ ) = π	5π 3 / 2	J3 / 2	(5r)		P0	(cosθ ) .


			r	1
	2

То есть, решение не зависит от угла ϕ, как это и можно было предположить из начальных условий.

Задача 24. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.

utt = 9 u xx ;

u(x,0) = x(x -1); ut (x,0) = 0;

u(0, t) = u(1, t) = 0.

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от t, т.е.

u(x,t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

utt = a 2u xx

имеем

X (x)T"(t) = a 2 X "(x)T (t) .

Здесь a 2 = 9 / 4 . После деления на X(x)T(t) получим:

1 T"(t) = X "(x) .
a 2 T (t)	X (x)

Это равенство двух отношений, зависящих только от x и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу - l. (l>0):

1 T"(t) = X "(x) = -λ ,
a 2 T (t)	X (x)

т.е.

X”(x)+ λX(x)=0,

T”(t)+ λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями

X”(x)+ λX(x)=0,

X(0)=X(1)=0

представляет собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

X(x) = A cos(λ x) + B sin(λ x)

сиспользованием краевых условий

X (0) = (A cos(0) + B sin(0)) = A cos(0) = A ×1 = 0 A = 0 ,

X (1) = B sin(1× λ ) = 0

находим собственные значения

λ = λn = (πn)2

и собственные функции

X n (x) = Bn sin(πnx).

Второе уравнение системы

T”(t)+ l a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C cos(aλt) + D sin(aλt) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

un (x, t) = X (x)T (t) = (Cn cos(aλt) + Dn sin(aλt))sin(πnx) .

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:

		3πn			3πn
u(x, t) = ∑ Cn	cos(		t) + Dn	sin(		t) sin(πnx) .
		2			2
n

Подставляя сюда начальное условие получим

ut (x, t) = ∑

3πn

- Cn

sin(

t) + Dn

cos(

t) sin(πnx)

ut (x,0) = ∑

3πn

(- Cn

× 0 + Dn

×1)sin(πnx) = 0 Dn = 0 ,

u(x,0) = ∑Cn × sin(πnx) = x(x -1) .

Последняя формула показывает, что величины Cn являются коэффициентами разложения функции x(x-1) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1):

		2 l			πnx
Cn	=		∫0	f (x) sin	dx ,
		l
					l

Cn = 2∫ x(x -1) sin(πnx)dx .

Интегрируя два раза по частям

= 2 × πn × sin(πn) + 2 × cos(πn) -

= 2 × πn × 0 + 2 × (-) n

(πn)3

получим окончательный ответ

3πn

3 ((-) -

1)cos(

u(x, t) = ∑

(πn)

t) sin(πnx)

- 8

3π (2n +1)

3 cos(

u(x, t) = ∑

(π (2n +1))

t) sin(π

4	=	4	((-)n -1).
(πn)3		(πn)3

(2n +1)x)

Задача 25. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике.

utt = 49 u;

u |t =0 = xy (7 − x)(2 − y); 64

ut |t =0 = 0;

u |x =0 = u |y =0 = u |x =7 = u |y =2 = 0.

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения трех функций, одна из которых зависит только от x, другая - только от y, а третья - только от t т.е.

u(x, y, t) = X (x)Y ( y)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

utt = a 2 (u xx + u yy )

имеем

X (x)Y ( y)T"(t) = a 2 (X "(x)Y ( y)T (t) + X (x)Y"( y)T (t)).

Здесь a 2 = 49 . После деления на X(x)Y(y)T(t) получим

1 T"(t) = X "(x) + Y"( y) .
a 2 T (t)	X (x) Y ( y)

Это равенство двух отношений, зависящих только от x, y и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу. Далее, так как отношение

X”(x)/X(x) зависит только от x, а Y”(y)/Y(y) – только от y, то сумма X "(x) + Y"( y) может

X (x) Y ( y)

быть постоянной лишь при условии, что каждое из этих слагаемых есть в свою очередь величина постоянная, т.е.

X "(x)	= −λ2 ,	Y"( y)	= −μ 2 .

X (x)		Y ( y)

В результате для отыскания функций X(x), Y(y), и T(t), получены уравнения:

X”(x)+ λ2X(x)=0, X(0)=X(7)=0,

Y”(y)+ μ2Y(y)=0, Y(0)=Y(2)=0,

T”(t)+ a 2 (λ2+μ2)T(t)=0.

Первые 2 уравнения системы представляют собой задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнений

X (x) = A cos(λx) + B sin(λx),

Y ( y) = C cos(λy) + D sin(λy)

с использованием краевых условий определяются собственные числа

λ = λk = πk 7 ,

μ = μn = πn 2

где k и n – любые целые числа. Каждой паре собственных чисел соответствуют собственные функции

X k (x) = sin(πk x), 7

Yn ( y) = sin(πn y) 2

Последнее уравнение системы теперь примет вид

T”(t)+ ω k2,n T(t)=0

и имеет решение

						T (t) = C cos(ω k ,n t) + D sin(ω k ,n t) .

		k	2	n	2
Здесь ω k ,n	= πa			+	.
Здесь ω k ,n	= πa			+	.
		7		2
Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид
	uk ,n (x, y, t) = X (x)Y ( y)T (t) = (Ck ,n						cos(ω k ,n t) + Dk ,n sin(ω k ,n t))sin(πk x) sin(πn y) .
							7	2

Поскольку при любых k, n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения.

u(x, y, t) = ∑∑(Ck ,n cos(ω k ,n t) + Dk ,n sin(ω k ,n t))sin(πk x) sin(πn y) .
	k n				7		2
Подставляя сюда начальное условие получим
ut (x, y, t) = ∑∑ω k ,n (- Ck ,n		sin(ω k ,n t) + Dk ,n		cos(ω k ,n t))sin(πk x) sin(πn y) ,
k	n				7		2
ut (x, y,0) = ∑∑ω k ,n (- Ck ,n		× 0 + Dk ,n	×1)sin(πk x) sin(πn y) = 0 Dk ,n = 0 ,
k	n			7	2
u(x, y,0) = ∑∑Ck ,n sin(πk x) sin(πn y) =					xy	(7 - x)(2 - y) .
u(x, y,0) = ∑∑Ck ,n sin(πk x) sin(πn y) =					64	(7 - x)(2 - y) .
	k n	7	2		64

Последняя формула показывает, что величины Ck,n являются коэффициентами разложения функции f(x,y)=xy(7-x)(2-y)/64 в двойной ряд Фурье по синусам в области

([0,7];[0,2]):

l m

πkx

πny

∫ ∫

Ck ,n =

f (x, y) sin

sin

dxdy ,

l × m

0 0

7 2 xy

πkx

πny

Ck ,n =

∫∫0 0

7 × 2

(7 - x)(2 - y)sin

sin

dxdy .

Интегрируя два раза по частям или пользуясь формулой

2 a

πkx

4a2

(1 - (-)

)

∫ x(a - x)sin

dx =

(1 - cos(πk)) =

a 0

получим

72 (cos(πn) -1)

((-)k -1)((-)n -1)

Ck ,n

(cos(πk) -1) =

(π 2kn)3

откуда окончательный ответ

πk

πn

7n 2

u(x, y,t) = ∑∑

((-)

-1)((-)

-1)cos

sin(

x)sin(

y) .

(π

kn)

Задача 26. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге.

utt = 36	u;
	1		r		2
u(r,0) =		(1	−		);
u(r,0) =		(1	−		);
	8			2

ut (r,0) = 0; u(2, t) = 0.

Решение.

Переписывая исходное уравнение в полярных координатах получим

ϕϕ

Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, когда в любой момент времени величина отклонения не будет зависеть от полярного угла ϕ и будет являться функцией только r и t, т.е. u=u(r,t). Это значит, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет поверхностью вращения.

При таком упрощающем предположении задача сводится к уравнению

u		+	1	u		=	1	u		,
	rr				r				tt
			r				a 2
где a 2 = 36 . Будем искать (не равное
			нулю)				решение этого уравнения в виде

произведения двух функций, одна из которых зависит только от r, другая - только от t т.е. u(r, t) = R(r)T (t).

Подставляя это выражение в волновое уравнение, имеем

R"(r)T (t) +

R'(r)T (t)

R(r)T"(t)

a 2

После деления на R(r)T (t) :

R"(r)

R'(r)

T"(t)

= −λ2

R(r) rR(r)

a 2T (t)

получим систему

T"(t) + λ2 a 2T (t) = 0

R'(r)

R"(r) +

+ λ2 R(r) = 0

Последнее уравнение имеет решение

где J 0 (λr) - функция

R(r) = J 0 (λr) ,

Бесселя нулевого

порядка. Подставляя

это

решение краевое

условие

R(2) = J 0 (2λ) = 0

получаем собственные числа задачи

= μk

где μk – корни функции Бесселя J0(x).

Для первого уравнения системы решение имеет вид

T (t) = C cos(aλt) + D sin(aλt) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

(r, t) = R(r)T (t) = C cos(a

t) + D sin(a

t) J

(

r) .

Поскольку при любых k полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения.

u(r, t) = ∑ Ck cos(a

t) + Dk sin(a

t) J 0 (

r) .

Подставляя сюда начальное условие

ut (r, t) = ∑a

- Ck sin(a

t) + Dk cos(a

t) J

(

r) ,

ut (r,0) = ∑ a

μk

(- Ck

× 0 + Dk )J 0 (

μk

r) = 0 Dk

= 0 ,

u(r,0) = ∑Ck

μk

J 0 (

r) =

Последнее равенство означает, что мы раскладываем функцию

u(r,0) =

(1 -

)

в ряд по функциям Бесселя J0(μk), которая удовлетворяет на интервале [0,b] условиям ортогональности

b	μk				μn		2
∫ rJ0 (		r)J0		(		r)dr =		b δ kn	J12 (μn ) .

0	b				b		2

Здесь b=2.
Коэффициенты разложения	Ck		можно				получить умножая обе части каждого

разложения на rJ 0 (μn

) и интегрируя в пределах от 0 до b. Тогда слева остается только

одно слагаемое

b2 J '2

(μ

) ∫

1 -

dr .

Однако, в нашем случае, проще из свойств Бесселевых функций

r 2

∑

k μk J1 (μk )

получить выражения для коэффициентов разложения

Ck =

μk3 J1 (μk )

Тогда решение исходного уравнения приобретает вид:

J 0

(

μk

u(r, t) = ∑

cos(3μk t) .

J1 (μk )

μk

Задача 27. Решить первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности на отрезке.

ut = 9u xx ;

x 2
		,0 £ x £ 4;
	4
u(x,0) =

	- x,4	£ x £ 8;
8

u(0, t) = u(8, t) = 0.

Решение.

u(x,t) = X (x)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение

ut = a 2uxx

имеем

X (x)T '(t) = a 2 X "(x)T (t) .

Здесь a 2 = 9 . После деления на X(x)T(t) получим

1 T '(t) = X "(x) .
a 2 T (t)	X (x)

1 T"(t) = X "(x) = -λ
a 2 T (t)	X (x)

т.е.

X”(x)+ λX(x)=0,

T’(t)+λ a 2 T(t)=0.

Первое уравнение системы с граничными условиями

X”(x)+ λX(x)=0,

X(0)=X(8)=0

X(x) = A cos(λ x) + B sin(λ x)

сиспользованием краевых условий

X (0) = (A cos(0) + B sin(0)) = A cos(0) = A ×1 = 0 A = 0 ,

X (8) = B sin(8 ×	λ	) = 0
находим собственные значения			λ = λn	πn 2
находим собственные значения			λ = λn	=
				8
и собственные функции		X n		πn
и собственные функции		X n	(x) = Bn sin		x .
				8

Второе уравнение системы

T'(t)+l a 2 T(t)=0

имеет решение

T (t) = C exp(-a 2 λt) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб240Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб75Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб101Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб70Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб379Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб20Экзаменационная программа.doc