Типовые

71

Задача 18. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями.

utt = 64u xx + 16 cos(8t) sin(x); u(x,0) = ut (x,0) = 0;

u(0, t) = u(π , t) = 0.

Решение.

Будем искать решение уравнения в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей однородной задачи

utt = 64u xx ;

u(x,0) = ut (x,0) = 0; u(0, t) = u(π , t) = 0.

т.е. по функциям {sin(nx)}:

u(x, t) = ∑un (t) sin(nx)

n

u xx (x, t) = -∑un (t) sin(nx) × n 2

n

считая при этом t параметром. Решением задачи с такими начальными и краевыми условиями является u(x,t)=0. Таким образом, для разложения исходного уравнения мы имеем

Соответствующее разложение для функции

f (x, t) = ∑ f n (t) sin(nx) = 16 cos(8t) sin(x)

n

дает все fn(t)=0 кроме f1(t)=16cos(8t). Отсюда следует, что только для 1-й гармоники мы сможем найти нетривиальное решение задачи Коши:

d 2 un (t) + 64 ×un (t) × n 2 = f n (t) dt 2

d 2 u1 (t) + 64 ×u1 (t) = 16 cos(8t) dt 2

с нулевым начальным условием.

Общее решение последнего уравнения есть

Таким образом решение исходного неоднородного волнового уравнения запишем в

виде

u(x, t) = t × sin(8t) × sin(x) .

72

Задача 19. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа u=0 в круге 0<r<3, 0<ϕ<2π (r, ϕ - полярные координаты) на границе которого искомая функция u(r,ϕ) имеет следующие значения:

u(3,ϕ)=cos3(ϕ)

Решение.

Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух

функций, одна из которых зависит только от r, а другая – только от ϕ, т.е. u(r,ϕ ) = R(r)Φ(ϕ ).

Подставляя это выражение в уравнение Лапласа

R(r)=С+D ln(r).

Для того, чтобы убрать нефизичную логарифмическую сингулярность в центре круга положим D=0. Поскольку

Таким образом Ф(ϕ)=А, R(r)=С и, в общем случае, u(r,ϕ ) = R(r)Φ(ϕ ) = const.

2. λ2>0.

Тогда для первого уравнения

Ф”( ϕ)+λ2 Ф(ϕ)=0, Ф(ϕ)=Ф(ϕ+2π)

получим задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных

значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

Φ(ϕ ) = A cos(λϕ ) + B sin(λϕ )

с использованием краевых условий получаем собственные значения λ=n и собственные функции

Φ n (ϕ ) = An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ) .

Решение второго уравнения системы

r2 R”(r) + rR’(r) - λ2R(r)=0

будем искать в виде R(r)=rm, что дает

r2m(m-1)rm-2+rmrm-1- λ2rm=0,

или

rm(m2-λ2)=0

т.е. m=±λ.

Следовательно

73

R(r) = Cr λ + Dr −λ .

Второе слагаемое необходимо отбросить, поскольку оно дает бесконечность в центре круга: D=0. Таким образом

R(r) = Cr n

и окончательно

un (r,ϕ ) = R(r)F(ϕ ) = (An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))r n .

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения

u(r,ϕ ) = ∑(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))r n .

n

Учитывая случай с l=0 получим

u(r,ϕ ) = A0 + ∑(An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ))r n .

n=1

Подставляя сюда начальное условие, с учетом

получим

откуда видно, что все константы An=Bn=0 кроме A1=1/4, А3=1/(334). Поэтому решение исходного уравнения имеет вид

Задача 20. Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в кольце.

u |r =3 / 2 = 1 ;

ur |r =2 = 1.

Решение.

Перепишем искомое уравнение в полярных координатах x=r cos(j), y=r sin(j) r 2 urr + rur + uϕϕ = r 3 × cos(2ϕ )

u(3 / 2,ϕ ) = ur (2,ϕ ) = 1.

Будем искать решение уравнения в виде суммы двух функций: u(r,ϕ ) = v(r,ϕ ) + w(r,ϕ ) ,

одна из которых удовлетворяет однородному уравнению с неоднородными начальными условиями:

r 2 vrr + rvr + vϕϕ = 0 ;

v(3 / 2,ϕ ) = u(3 / 2,ϕ ) − w(3 / 2,ϕ ) = 1 − w(3 / 2,ϕ )

,

vr (2,ϕ ) = ur (2,ϕ ) - wr (2,ϕ ) = 1 - wr (2,ϕ )

а другая - удовлетворяет неоднородному уравнению:

r 2 wrr + rwr + wϕϕ = r 3 × cos(2ϕ ) .

Частное решение последнего уравнения представим в виде

w = ( Ar 3 + Br 2 + Cr + D) × cos(2ϕ ) ,

тогда

74

wr = (3Ar 2 + 2Br + C) × cos(2ϕ ) ; wrr = (6 Ar + 2B) × cos(2ϕ )

и его можно переписать как

(5Ar 3 - 3Cr - 4D)× cos(2ϕ ) = r 3 × cos(2ϕ ) .

Откуда видно, что А=1/5 и

w(r,ϕ ) = r 3 × cos(2ϕ ) . 5

С учетом последнего решения задачу для функции v(r,ϕ ) = u(r,ϕ ) - w(r,ϕ ) перепишем в виде

будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от r, а другая – только от ϕ, т.е.

v(r,ϕ ) = R(r)F(ϕ ).

получим систему

Ф”( ϕ)+λ2 Ф(ϕ)=0,

r2 R”(r) + rR’(r) - l2R(r)=0.

Рассмотрим два случая:

Таким образом Ф(ϕ)=А, R(r)=С+D ln(r) и, в общем случае: u(r,ϕ ) = R(r)F(ϕ ) = A + B × ln(r).

2. λ2>0

Тогда для первого уравнения

Ф”( ϕ)+λ2 Ф(ϕ)=0, Ф(ϕ)=Ф(ϕ+2π)

получим задачу Штурма-Лиувилля на отыскание собственных функций и собственных

значений дифференциального оператора (см. задачу 1). Из общего решения уравнения

F(ϕ ) = A cos(λϕ ) + B sin(λϕ )

75

сиспользованием краевых условий получаем собственные числа λ=n

исобственные функции

Fn (ϕ ) = An cos(nϕ ) + Bn sin(nϕ ) .

Решение второго уравнения системы

r2 R”(r) + rR’(r) - l2R(r)=0

будем искать в виде R(r)=rm, что дает

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением

исходного дифференциального уравнения:

v(r,ϕ ) = ∑((An r n + Bn r −n )cos(nϕ ) + (Cn r n + Dn r −n )sin(nϕ )).

n

Учитывая случай с l=0 получим

видим, что все An=Bn=Cn=Dn=0 кроме A0, B0, A2 и B2. Найдем их, используя второе краевое условие

откуда A=1/28 и частное решение принимает вид:

w = r 4 × cos(ϕ ) sin(2θ ) . 28

С учетом последнего решения задачу для функции v(r,ϕ ) = u(r,ϕ ) − w(r,ϕ ) перепишем в виде