Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Типовые

.pdf

Скачиваний:

427

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

652.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

	aπn		2	πn
un (x, t) = X (x)T (t) = Cn	exp(-		t) sin(	x) .

		8		8

Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений также будет являться решением исходного дифференциального уравнения

u(x, t) = ∑Cn		aπn				2	πn
	exp(-					t) sin(	x) .
			8
n							8
Подставляя сюда начальное условие
	πn		x 2
u(x,0) = ∑Cn sin(					;0 < x < 4

		x) =	4
	8
n				- x;4 < x			< 8
			8

видим, что величины Cn являются коэффициентами разложения функции в ряд Фурье по синусам в интервале (0,8):

πnx

∫0

f (x) sin

dx ,

x 2

πn

∫

sin

dx +

∫ (8 - x) sin

x dx .

Интегрируя два раза по частям

Cn = -8 × π 2 n2 × cos(πn / 2) - 4πn × sin(πn / 2) - 8 cos(πn / 2)

(πn)3

16 sin(πn)

πn × cos(πn / 2) + 2 × sin(πn / 2)

+ 8 ×

(πn)2

(πn)3

(πn)2

64(cos(πn / 2) -1)

48 × sin(πn / 2)

(πn)3

(πn)2

получим окончательный ответ

-1)

3πn

πn

64(cos(πn / 2)

48 × sin(πn / 2)

u(x, t) = ∑

exp(-

t) sin(

x) .

(πn)

Задача 28. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения

теплопроводности в круге.

= 7

u(r,0) = (16 - r 2 );

u(4, t) = 0.

Решение.

Переписывая исходное уравнение в полярных координатах

urr

uϕϕ

будем рассматривать только осесимметричные решения, когда в любой момент времени величина температуры не будет зависеть от полярного угла ϕ и будет являться функцией только r и t, т.е. u=u(r,t). Это значит, что при любом фиксированном t форма распределения температуры по мембране будет поверхностью вращения.

При таком упрощающем предположении задача сводится к уравнению

urr	+	1	ur	=	1	ut ,
					a 2
		r

где a 2 = 7 . Будем искать (не равное нулю) решение этого уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от r, другая - только от t т.е.

u(r, t) = R(r)T (t).

Подставляя это выражение в уравнение теплопроводности, имеем

R"(r)T (t) +

R'(r)T (t)

R(r)T '(t)

a 2

После деления на R(r)T (t)

R"(r)

R'(r)

T '(t)

= −λ2

R(r) rR(r)

a 2T (t)

получим систему

T '(t) + λ2 a 2T (t) = 0

R'(r)

R"(r) +

+ λ2 R(r) = 0

Последнее уравнение имеет решение

R(r) = J 0 (λr) ,

где J 0 (λr) - функция Бесселя нулевого

порядка.

Подставляя

в это решение краевое

условие

R(4) = J0 (4λ) = 0

получаем собственные числа задачи

= μk ,

где μk – корни функции Бесселя J0(x).

Для первого уравнения системы решение имеет вид

T (t) = C exp(−a 2 λ2t) .

Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид

μk

uk (r, t) = R(r)T (t) =

C exp −

t J 0

r .

Поскольку при любых k полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением

исходного дифференциального уравнения
u(r, t) = ∑Ck			μ	k	2			μ	k
	exp	− a				t J	0			r .

			4					4
k

Подставляя сюда начальное условие получим

u(r,0) = ∑Ck	J 0	(	μk	r) = 16 − r 2 .

k		4

Последнее равенство означает, что мы раскладываем функцию u(r,0) = 16 − r 2 в

ряд по функциям Бесселя J0(μkr), которая удовлетворяет на интервале [0,1] условиям ортогональности

δ kn

∫ rJ 0 (μk r)J 0 (μn r)dr =

J '0 (μn ) .

Умножим обе части каждого разложения на

0 (μn

)

и интегрируем в пределах

от 0 до 4:

∑Ck ∫

= ∫

−

0 μn

J 0

μk

J 0

μn

16 1

тогда слева остается только одно слагаемое

∫

xJ 0 (μk x)(1 − x )dx .

μk

1 −

J ' (μ

)

J '

(μ

)

Из свойства Бесселевых функций

∫t n J n−1dt = t n J n ,

J 2

1 − J 0 ,

J 3

−1 J

−

J 0

t 2

J’0=-J1

получим выражения для интегралов

(μ k )

(μ k x)dx =

1 (μ k x)J 0 (μ k x)d (μ k x) =

(μ k x)J1

(μ k x)

xJ 0

∫

∫ x3 J 0 (μ k x)dx =

∫

(μ k x)

J 0 (μ k x)d (μ k x) =

∫ t 3 J 0 dt =

∫ t 3

−

J 2 dt

μ k 0

2t 2

−

− t 3

− 1 J

−

(2t

J 3 )

(2t 2

J1 − t 3 J 2 )dt =

J 2 − t

∫

μ 4

(4tJ1 − 2t 2 J 0 − 8tJ1 + t 3 J1 + 4t 2 J 0 )

(− 4tJ1 + t 3 J1 + 2t 2 J 0 )

2x 2

1 (μ k )

−

(μ x) +

J (μ

x) +

(μ

= 1

−

μ k

используя которые находим коэффициенты Сk:

Ck =

0 (μ k x)(1 − x 2 )dx =

J1 (μ k )

− 4

J1 (μ k )

− 1

∫

J '2

(μ

)

J '2

(μ

)

μ 2

32 4

J1 (μ k )

128

J12 (μ k )

μ k2

μ k

μ k3 J1 (μ k )

(

)

128∑k

u(r, t) =

exp(−

и ответ

μ k t) .

μ k3 J1

(μ k )

Задача 29. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для волнового уравнения на плоскости.

utt = a 2 (u xx + u yy );

u(r,0) = 3x 2 + y 2 ;

ut (r,0) = 0.

Решение.

Для уравнения

utt

= a 2 Du;

u(r,0) = ϕ (r);

(r,0) = ψ (r).

формула Пуассона имеет вид

∫L

ψ (x, y)dxdy

∫L

ϕ (x, y)dxdy

u(x', y', t) =

2πa

¶t

a 2 t 2 - | x - x'|2 - | y - y'|2

a 2t 2 - | x - x'|2 - | y - y'|2

В нашем случае эта формула принимает вид

u(x', y', t) =

∫∫

(3x 2 + y 2 )dxdy

2πa

¶t

a 2t 2 - | x - x'|2 - | y - y'|2

перепишем ее в полярных координатах

x - x'= r × cosϕ

y - y'= r × sin ϕ

u(x', y', t) =

∫ at∫

(3(r cosϕ + x')2

+ (r sin ϕ

+ y')2 )rdrdϕ

2πa dt

a 2t 2 - r 2

∫ at∫

(3(r 2 cos2 ϕ + 2 × r × x'×cosϕ + (x')2 )+ (r 2 sin 2 ϕ + 2 × r × y'×sin ϕ + (y')2 ))rdrdϕ

2πa

a 2t 2 - r 2

1 d at

(4r 2

+ 6(x')2 + 2(y')2 )rdr

∫0

2a dt

a 2t 2 - r 2

1 d

2at(3(x')

+ a( y')

)

2a dt

= 4a 2t 2 + 3(x') 2 + a( y')2

Задача 30. Используя формулу Кирхгофа, найти решение задачи Коши для

волнового уравнения в пространстве.

utt

= u xx

+ u yy + uzz ;

u(r,0) = 5x 2 + 3y 2 + 4z 2 ;

ut (r,0) = 0.

Решение.

Для задачи

utt

= a 2 Du;

u(r,0) = ϕ (r);

(r,0) = ψ (r).

формула Кирхгофа принимает вид

ψ (r)dσ

1 ∂

ϕ (r)dσ

u(x', y', z', t) =

∫∫

at .

4πa

∂t

В нашем случае эта формула имеет вид

(5x 2 + 3y 2 + 4z 2 )dσ

u(x', y', z', t) =

1 ∂

∫∫

4πa ∂t

Проецируя сферу

(x − x')2 + ( y − y') 2 + (z − z') 2 = a 2t 2

на плоскость X0Y разобьем интеграл на два слагаемых, для верхней dσ +

и нижней

dσ + полусфер

1 ∂

(5x2

+ 3y 2 + 4(z + )2 )dσ +

(5x 2

+ 3y 2 + 4(z

− )2 )dσ −

u(x', y', z', t) =

∫∫

+ ∫∫

4πa ∂t

с положительным

n + = ((x − x'), ( y − y'), (z + − z')) at

и отрицательным

n − = − ((x − x'), ( y − y'), (z − − z')) at

направлением нормали, соответственно. Тогда, с учетом

dσ + =

dS3

dx dy ;

dσ − =

dS3

= −

dx dy ,

n3+

n3−

− − z'

+ − z'

где

z + = z'+

= z'+ zˆ ;

a 2t 2 − (x − x') 2 − ( y − y') 2

z − = z'−

= z'−zˆ

a 2t 2 − (x − x')2 − ( y − y')2

перепишем формулу Кирхгофа

(5x 2 + 3y 2 + 4(z + )2 ) at

∫∫

z + − z'

u(x', y', z', t) =

∂

dx dy

;

−

(5x

+ 3y

+ 4(z

)

4πa ∂t −

∫∫

dx dy

−

− z'

1 ∂

∫∫

(5x 2 + 3y 2 + 4(z + ) 2 )

(5x 2 + 3y 2 + 4(z − )2 )

u(x', y', z', t) =

4πa ∂t S

zˆ

dx dy

1 ∂

2(5x 2 + 3y 2 )+ 4((z + ) 2 + (z − )2 )

∫∫

4πa ∂t

zˆ

dx dy

1 ∂

∫∫

2(5x2 + 3y 2 )+ 8((z')2 + a 2t 2 − (x − x')2 − ( y − y')2 )

dx dy .

4πa ∂t

− (x

− x')

− ( y

− y')

Переходя к полярным координатам

x=x’+r cos(ϕ) y=y’+r sin(ϕ)

получим

			2(5(x + r × cosϕ )		96								)+ 8(z								)
	1 ¶		2(5(x + r × cosϕ )	2	+ 3(y + r × sin ϕ )							2	)+ 8(z	2	+ a	2	t	2	- r	2	)
		at		2								2		2		2		2		2
u(x, y, z, t) =		∫ ∫																				rdr Ù dϕ
	4πa ¶t
						a	2	t	2	- r	2												.
		0				a		t		- r													.

= 1 ¶ (4πat(5x 2 + 3y 2 + 4z 2 + 4a 2t 2 )) = 5x 2 + 3y 2 + 4z 2 +12a 2t 2 4πa ¶t

Здесь мы произвели замену (x’,y’,z’,t) ® (x,y,z,t).

Задача 31. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

ut = uxx ;

u(x,0) = exp(-4x 2 - 4x).

Решение.

Будем искать решение уравнения методом функции Грина. Для уравнения

	ut		= a 2uxx ;
	u(x,0) = ϕ (x).
решение принимает вид
		∞
u(x, t) = ∫G(x - x', t)ϕ (x')dx'
	−∞
где
			1			x 2


G(x) =			4a 2t	exp	-	4a	2		-
	π		4a 2t			4a		t

фундаментальное решение (функция Грина) уравнения теплопроводности. Подставляя в интеграл начальные условия, получим формулу Пуассона

∞

(x - x')

u(x, t) = ∫

π 4a

exp

exp(-4x' -4x')dx'.

−∞

После приведения к полному квадрату последнее выражение принимает вид

t - x

- x)

∞

t )

t - x

4(4a

(1 +16a

∫

u(x,t) = exp

2 exp

x'+

dx'.

1 +16a

−∞

π 4a t

1 +16a

Используя интеграл Пуассона

∞

∫ exp(- bx 2 )dx =

−∞

запишем окончательный ответ

- x)

- x

4(4a

u(x,t) =

1 +16a

exp

1 +

16a

4(4t - x - x)

u(x,t) =

exp

1 +16t

ЛИТЕРАТУРА

1.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). –

М.:Высш.шк., 1994. – 206 с.

2.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты). – М.:Высш.шк., 1999. – 126 с.

3.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, - 1977. – 736 с.

4.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, - 1972. – 688 с.

5.Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Наука, - 1962. – 768 с.

6.Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.:МГУ, 1998. –

350с.

7.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.:

Наука, - 1984. – 384 с.

8.Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, - 1969. – 288 с.

9.Котляр Я.М. Методы математическойфизики и задачи гидроаэродинамики. –

М.:Высш.шк., 1991. – 208 с.

10.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, - 1988. – 512 с.

Владислав Николаевич Думачев

Типовой расчет. Уравнения математической физики.

Методические указания для выполнения типового расчета, проведения практических занятий и самоподготовки.

ИД №_____ от __.01.2002 г.

Подписано в печать 2002 г. Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс новая. Печать офсетная.

Усл.печ.л. 2,5. Тираж 110 экз. Заказ №

Издательство «Воронежский институт МВД России»

394065, Воронеж, просп. Патриотов, 53

Типография Воронежского института МВД России

394065, Воронеж, просп. Патриотов, 53

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
28.06.2014270.69 Кб261Задачи Штурма-Лиувилля.pdf
#
28.06.20142.15 Mб82Кузнецов Л. Сборник заданий по высшей математике (типовые).djvu
#
28.06.20141.25 Mб108Лекции.pdf
#
28.06.20141.25 Mб75Лекции_2.pdf
#
28.06.2014652.43 Кб427Типовые.pdf
#
28.06.201427.65 Кб22Экзаменационная программа.doc