1. Специальные подклассы сетей Петри.

1. Автоматные сети.

Для автоматных сетей вводится ограничение на функции и:, т.е. все переходы имеют одну входную дугу и одну выходную дугу. Если в начальной маркировкеесть единственная фишка в некоторой позиции, то такие сети с-раскрашиванием переходов ничем принципиально не отличаются от так называемых графов переходов (позиции сети представляют состояния графа переходов), рассматриваемых в теории конечных автоматов. Как следствие, языки таких сетей Петри являются регулярными. При наличии большего числа фишек в начальной маркировкеязык этой сети является «смесью» языков сетей Петри с тем же графом и с начальными маркировками, такими, что. Напомним, что «смесь» двух формальных языковив алфавитеопределяется так:

;

если и, то

.

Очевидно, что автоматные сети являются ограниченными, т.к. количество фишек в автоматных сетях не меняется в результате срабатывания любого перехода. Из этого, в частности, следует, что смесь регулярных языков представляет собой тоже регулярный язык.

На рис. 13 приведен пример автоматной сети.

2. Маркированные графы.

Если для некоторой сети Петри выполняется условие:

то эта сеть называется маркированным графом.

Циклом в маркированном графе называется «кольцо» переходов , такое, что . Известны следующие результаты:

1. Общее число фишек в позициях, связывающих переходы в одном цикле, не меняется в результате срабатываний любых переходов.

2. Переходы в маркированном графе являются живыми, если для каждого его цикла в начальной маркировке есть хотя бы одна фишка в позициях, связывающих переходы этого цикла.

3. Маркированный граф является безопасной сетью, если для каждого его цикла в начальной маркировке есть ровно одна фишка в позициях, связывающих переходы этого цикла.

Маркированные графы, как и автоматные сети, представляют собой ограниченные сети Петри. Как известно, для таких сетей все задачи их анализа являются разрешимыми. Однако, ценой этого является существенная ограниченность возможностей при моделировании сложных систем.

На рис. 14 приведен пример маркированного графа.

7. Расширения и обобщения формализма сетей Петри.

Обратной стороной простоты и изящества применения формализма сетей Петри при описании относительно простых параллельных систем являются недостатки, проявляющиеся при моделировании более сложных систем. Во-первых, существенным ограничивающим фактором является семантическая монотонность обычных сетей Петри. Во-вторых, абстрактное понимание ресурсов как ничем не отличающихся «фишек» приводит к быстрому росту сложности графа сети при моделировании систем, требующих дифференциации ресурсов. Эти и другие практические недостатки базового формализма привели к многочисленным предложениям по его обобщению, модификации и расширению. Рассмотрим некоторые наиболее известные из этих предложений.

1. Сети Петри с раскрашенными фишками.

Пусть – не пустое множество«цветов» фишек. Для сети Петри с раскрашенными фишками сохранены определения графа сети и функции раскрашивания переходов для задания языков сети. Отличие состоит в определении понятия начальной маркировки сети.Предполагается, что всякая маркировка сети определена как комплект упорядоченных пар позиций и цветов фишек, соответственно, т.е. . Эквивалентным, но более удобным является понимание маркировки как функции , сопоставляющей каждой позиции сети комплект цветов из, неформально рассматриваемый как комплект раскрашенных фишек в этой позиции. Каждому переходусети Петри с раскрашенными фишками сопоставим некоторую функцию, или, в общем случае, бинарное отношение. Функция, опредленная ранее для обычных сетей Петри, для сетей с раскрашенными фишками обобщается до уровня отношенияследующим образом:

.

Заметим, что для всякой пары комплектов раскра-шенных фишек,,, естьвариантов их разбиения на подкомлекты из заданных количеств раскрашенных фишек:,еслиидля всех.

Другими словами можно сказать, что значением для пары – комплекта позиций сетии комплекта цветов фишек– является число всевозможных комплектовпаркомплектов позиций и цветов фишек, таких, чтои.

Если множество цветов фишек конечно, то поведение любой сети с раскрашенными фишками может быть промоделировано обычной сетью, в которой каждой позицииисходной сети будет соответствовать подмножество позиций, а каждому переходу– множество переходов, определяемое как отношением, так и возможными разложениями комплектов раскрашенных входных фишек перехода на подкомплекты, соответствующие отдельным позициям. Как правило, в этом случае, при использовании раскрашенных фишек хотя и не появляется принципиально новых возможностей, сложность моделирующей сети оказывается существенно меньшей.