1. Свойства сетей Петри. Дерево достижимости маркировок.

Сеть называется безопасной, если . Очевидно, что безопасные сети могут быть реализованы логическими схемами с двоичными элементами памяти, представляющими отдельные позиции этой сети.

Сеть называется ограниченной, если . Очевидно, что ограниченность сети эквивалентна конечности множества достижимых в сети маркировок. Следовательно, ограниченные сети могут быть исследованы средствами теории конечных автоматов.

Известно, что общая проблема достижимости в произвольной сети произвольной маркировки является алгоритмически неразрешимой. Однако, проблема ограниченности сети является разрешимой, то есть для любой сети Петри можно за конечное число шагов определить, является она ограниченной или нет.

Деревом достижимости маркировок для сети Петри называется корневое дерево, вершины которого помечены обобщенными маркировками , для которых. Символобозначает сколь угодно большое число: (). Корневая вершина дерева достижимости помечена начальной маркировкой, а дуги, исходящие из вершины, помеченной маркировкой, помечены всеми возможными переходами, которые могут сработать при маркировке(), и ведут, соответственно, в вершины, помеченные маркировками. Если в ветви, идущей из корня дерева к маркировке, встречается маркировка, строго меньшая маркировки, то для всех позиций, для которых, полагаем. Действительно, история, такая, что, может быть повторена любое число раз, в результате чего в достижимых измаркировках количество фишек в указанных позициях может стать сколь угодно большим. Построение дерева достижимости обрывается в следующих двух случаях:

• если вершина помечена обобщенной маркировкой, являющейся тупиковой,

• если в дереве уже встречалась вершина, помеченная той же самой обобщенной маркировкой, построение дерева для которой было продолжено (очевидно, что построение зависит только от маркировки корневой вершины соответствующего дерева или поддерева).

Теорема. Дерево достижимости маркировок для любой сети Петри конечно (завершается за конечное число шагов построения).

Доказательство теоремы о конечности дерева достижимости маркировок базируется на следующих леммах.

Лемма 1. В любом бесконечном корневом дереве (прадереве) с конечными степенями вершин существует бесконечная ветвь (путь, исходящий из корня дерева).

Доказательство. Очевидно, что среди корневых поддеревьев хотя бы одно является бесконечным (в противном случае дерево было бы конечным). Применяя к нему те же рассуждения, можно строить путь из корня неограниченной (бесконечной) длины.

Лемма 2. Во всякой бесконечной последовательности натуральных чисел можно выделить бесконечную неубывающую подпоследовательность.

Доказательство. Возможны два случая:

• некоторое число встречается в заданной последовательности бесконечное число раз. Тогда искомая подпоследовательность будет образована всеми вхождениями этого числа в заданную последовательность чисел;

• все числа в заданной последовательности встречаются конечное число раз. Пусть заданная последовательность есть и. Так как количество чисел, меньших, конечно (оно равно самому) и все они встречаются в исходной последовательности конечное число раз, то существует такое, что. Применяя те рассуждения ки так далее, можно строить бесконечную неубывающую подпоследовательность.

Лемма 3. Во всякой бесконечной последовательности обобщенных маркировок можно выделить бесконечную неубывающую подпоследовательность.

Доказательство построим индукцией по длине представляющего обобщенную маркировку кортежа с элементами из(равно количеству позиций в сети – мощности множества). Дляисходная бесконечная последовательность пустых кортежей сама есть искомая подпоследовательность. Пусть лемма верна для последовательностей кортежей длины. Покажем, что она верна и для любой последовательностикортежей длины. Рассмотрим бесконечную последовательностькортежей длины, образованных начальнымикомпонентами кортежей исходной последовательности. Выделим вбесконечную неубывающую подпоследовательность(согласно индуктивному предположению) и рассмотрим соответствующую ей бесконечную подпоследовательностьисходной последовательностикортежей длины, неубывающую по первымкомпонентам кортежей. Далее рассмотрим бесконечную последовательностьпоследних компонентов кортежей этой подпоследовательности. Возможны два случая:

• значение встречается в последовательностибесконечное число раз. В этом случае подпоследовательностьпоследовательности, образованная всеми кортежами со значениемпоследнего компонента, и есть искомая бесконечная неубывающая подпоследовательность исходной последовательности;

• в противном случае удалим из все кортежи со значениемпоследнего компонента. Оставшаяся последовательностьбудет бесконечной последовательностью кортежей длины, неубывающей по первымкомпонентам кортежей и элементы которой имеют числовые значения последних компонентов кортежей. Пусть– бесконечная последовательность натуральных чисел, образованная последними компонентами кортежей из. Согласно лемме 2 в ней можно выделить бесконечную неубывающую подпоследовательностьнатуральных чисел. Индуцированная ею подпоследовательностьпоследовательностибудет искомой бесконечной последовательностью кортежей длины, неубывающей как по первымкомпонентам, так и по последнему компоненту.

Доказательство теоремы о конечности дерева достижимости построим от противного. Пусть дерево достижимости бесконечно. Согласно лемме 1 в нем имеется бесконечная ветвь, а соответствующие ее вершинам обобщенные маркировки образуют бесконечную последовательность. Согласно лемме 3 в ней можно выделить бесконечную неубывающую подпоследовательность , т.е. . Так как последовательность бесконечная, то в ней не может быть одинаковых (дублирующих) маркировок. Следовательно, . Но, следовательно, при переходе от к , представляющих маркировки вершин в одной ветви дерева, по крайней мере для одного компонента кортежа, имеющего в числовое значение, соответствующий компонент в буде иметь значение . Так как количество компонентов кортежей конечно (равно количеству позиций в сети), то длина последовательности обобщенных кортежей не может быть больше значения , что противоречит утверждению о бесконечности этой последовательности, следующего из предположения о бесконечности дерева достижимости маркировок. Что и требовалось доказать.

Таким образом, построение дерева достижимости для любой сети Петри всегда завершается за конечное число шагов. Следовательно, проблема ограниченности сети является разрешимой: если ни одна из обобщенных маркировок в дереве достижимости не использует значение , то сеть является ограниченной, а в противном случае – нет.

На рис. 3 показан пример сети с заданной начальной маркировкой и построено для нее дерево достижимости.

Дерево достижимости в общем случае не определяет однозначно множество достижимых маркировок. На рис. 4 показаны две разные сети Петри, имеющие одно и то же дерево достижимости, хотя для первой из них существуют достижимые маркировки с любым количеством фишек в позиции, а во второй во всех достижимых маркировках в этой позиции может быть только четное количество фишек.