Пример.

1.
2.
3.
4.
5.
6.

1.

2.

3.

4.

5.

ПОТОКИ В ТРАНСПОРТНЫХ СЕТЯХ.

Определение 1.

Сеть – ориентированный граф, обладающий следующими свойствами:

1. из S (источника) дуги только выходят, в t (сток) дуги только входят.

2. –пропускная способность дуги (будем указывать в скобках).

3. –внутренняя вершина.

Определение 2.

Поток сети– отображение, которое обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

Определение 3.

–величина потока.

Пример.

–поток наибольшей величины.

Лекция № 11.

ПОТОКИ В СЕТЯХ.

Определение 1.

Сечением сети называется разбиение множества вершин на два подмножества

Определение 2.

Разрез, соответствующий сечению – множество дуг, соединяющих вершины из разных множестви. Обозначение.

–множество дуг, направленных от к(множество прямых дуг).

–множество дуг, направленных от к(множество обратных дуг).

Определение 3.

Пропускная способность разреза – сумма пропускных способностей прямых дуг.

Пример.

1.

2.

3.

4.

Лемма 1.

Если – сечение, то.

Рассмотрим .

С другой стороны



Теорема 1.



Следствие.

Теорема 2.



Следовательно, если 

Теорема 3 (о максимальном потоке и минимальном разрезе).

Пусть f – максимальный поток.

Построим сечение Образуем множество А. Включим в него вершины, в которые можно попасть из источника, двигаясь по дугам без учёта ориентации, но с соблюдением условий:

1. Если (дуга насыщена)дуга проходится против своей ориентации.

2. Если дуга проходится в направлении своей ориентации.

Покажем, что – сечение, т. е..

Допустим, что , тогданеориентированная цепь, ведущая изS в t, удовлетворяющая условиям 1 и 2. Разобьём её на две части:

Вычислим величины

В силу условий 1 и 2 . Возьмём.

Построим новый поток

. Это противоречит тому, что .

Т. о. – разрез.

В силу условий 1 и 2



Алгоритм построения максимального потока и минимального разреза:

1. Начать с нулевого потока ;

2. Построить полный поток, т. е. поток, в котором каждый путь из S в t содержит насыщенную дугу (дугу, в которой );

   1. Найти путь из S в t;

   2. Вычислить ;

   3. Увеличить на поток на всех дугах этого пути ;

3. Ставить метки вершин;

   1. Пометить S символом +0;

   2. Если помечена, а не помечена, то пометить символом

   3. Если при этом t пометить нельзя, то , а помеченные вершины образуют множество А для минимального разреза .

Иначе, если t помечен, то неориентированная цепьизS в t (по меткам вершин),

Увеличить поток на следующим образом:

Вернуться к пункту 3.1.

Лекция № 12.

КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ.

Определение 1.

Комбинаторный анализ – раздел математики, имеющий дело с конечными множествами.

Определение 2.

Особые подмножества конечных множеств называются комбинаторными конфигурациями. Количество комбинаторных конфигураций определённого вида называется комбинаторным числом.

Определение 3.

Перечислительные задачи – раздел комбинаторики, занимающийся нахождением комбинаторных чисел.

Определение 4.

Введём универсальное множество из n элементов (n-множество) U и рассмотрим его подмножества из k элементов (k-подмножества). Они могут быть упорядочены или неупорядочены (линейно).

Неупорядоченное подмножество называетсяk-сочетанием n-множества U (из n по k).

Упорядоченное подмножество называетсяk-размещением n-множества U (из n по k).

Обозначение.

–число сочетаний из n элементов по k.

–число размещений из n элементов по k.

Определение 5.

Пусть – названия типов элементов, тогда сочетанием (размещением) с повторениями называется сочетание (размещение), в котором элементы одного типа могут повторяться.

Обозначение.

–число сочетаний из n элементов по k с повторениями.

–число размещений из n элементов по k с повторениями.

Теорема 1 (правило произведения).

Если объект может быть выбранспособами, объектможет быть выбранспособами и они выбираются независимо друг от друга, то параиможет быть выбранаспособами.

Теорема 2 (правило суммы).

Если объект может быть выбранспособами, объектможет быть выбранспособами и выбориневозможен, тоилиможет быть выбранспособами.

Утверждение 1.

Теорема 2 (свойства чисел ).

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Числа образуют треугольник Паскаля:

   	0	1	2	3	...	k
   0	1
   1	1	1
   2	1	2	1
   3	1	3	3	1
   n

6. 

7. –биноминальные коэффициенты.

8. 

9. 

10. 

11. 

12. (сумма усечённого k-ого столбца треугольника Паскаля).

13. 



7. . Преобразуем в сумму произведений. Каждое произведение содержит n множителей a или b. Нужно выбрать k скобок, из которых возьмём множитель b. Они же однозначно определяют n – k скобок, откуда берём a. Число таких скобок .

8. I способ.

Воспользуемся формулой 7 при a = b = 1 .

II способ.

–число всех подмножеств n-множества.

–число k-подмножеств n-множества.

.

9. В формуле Бинома положим a = 1, b = –1 .

10.

11. .

12. .