Определение 16.

Орграф называется сильно связным, если путь извипуть изв.

Замечание.

Вершина удаляется из графа со всеми инцидентными рёбрами.

Определение 17.

Вершина называется точкой сочленения, если её удаление увеличивает число компонент связности. Ребро называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент связности.

Лекция № 2.

ЭЙЛЕРОВЫ ЦИКЛЫ.

Определение 1.

Цикл называется Эйлеровым, если в него входят все рёбра графа, причем, строго по одному разу.

Теорема 1 (Эйлер, 1748) для неориентированных графов.

Следующие условия эквивалентны:

Очевидно.

Докажем методом математической индукции по числу рёбер. Базис индукции m=1,2,3… Рассмотрим индуктивный переход. Пусть выполнено условие (2). Возьмём . Выйдем из вершиныпо любому инцидентному ребру, попадём в другую вершину. Из неё выйдем по следующему ребру, попадём в другую вершинуи т. д. пока не вернёмся в одну из пройденных вершин.

Найдём простой цикл . Удаляем из графа все рёбра этого цикла. Оставшийся граф разобьётся на несколько компонент связанности. Каждая компонента связанности является связанным подграфом и степень каждой вершины осталась чётной.

Имеем рёбер. По индуктивному предположению вЭйлеровы циклы. Склеим эти циклы впо общим вершинам и получим Эйлеров цикл во всём графе. 

1	4
2	4
3	4
4	4
5	4
6	4
7	2
8	4

П ример.

и имеют общую вершинуиимеют общую вершинуиимеют общую вершину

Теорема 2 (для ориентированных графов).

Следующие условия эквивалентны:

Пример.

1	2	2
2	2	2
3	2	2
4	2	2
5	1	1
6	1	1

ГАМИЛЬТОНОВЫ ЦИКЛЫ.

Определение 2.

Гамильтоновыми называются циклы, проходящие через каждую вершину ровно один раз.

Неизвестны условия (необходимые и достаточные) для существования Гамильтонова цикла.

Утверждение 1.

Если в графе имеется точка сочленения, то Гамильтонова цикла не существует.

Утверждение 2 (Достаточное условие Дирака).

Утверждение 3 (Достаточное условие Оре).

Покажем, что эти условия не являются необходимыми.

n=8.Условия Дирака и Оре не выполняются,

Гамильтонов цикл существует!

Замечание.

Существование Эйлерова и Гамильтонова циклов не связаны.

Существуют Эйлеров и Гамильтонов циклы.

Существует Гамильтонов цикл, но не существует Эйлеров цикл.

Существует Эйлеров цикл, но не существует Гамильтонов цикл.

Не существуют Эйлеров и Гамильтонов циклы.

Замечание.

Почти все графы не имеют Эйлерова или Гамильтонова цикла.

ДЕРЕВЬЯ И ОСТОВЫ.

Лемма 1.

Если граф связен, то соединение ребром любых двух несмежных вершин приводит к появлению цикла.

Лемма 2.

Если граф связен и его ребро входит в некоторый цикл, то удаление этого ребра не нарушит связанность графа.

Лемма 3.

Пусть граф G связен и имеет n вершин, m рёбер, k компонент связанности, тогда

1)

2) если в графе нет циклов, то

1) Пусть – граф, имеющийn изолированных вершин и не имеющий вообще рёбер. Будем m раз добавлять по 1 ребру, пока не получим граф G.

Если на некотором шаге соединяли ребром вершину из одной компоненты, то число компонент не изменится на этом шаге.

В другом случае: если соединяли ребром вершину из разных компонент, то число компонент уменьшится на единицу.

Сначала в былоn компонент связанности, после m шагов добавления ребра стало .

2) Если G не имеет циклов, то на каждом шаге соединяем ребром вершины из разных компонент, иначе бы в силу леммы 1 получили бы цикл.