Рекомендации по сдаче экзамена

0. Что это за текст такой

Пункт 1 – это попытка неформально описать, на основе каких объектов строится изложение. Он написан только для того, чтобы вы понимали, о чем идет речь и почему в том или ином случае нужно использовать какое-то обозначение, например, почему при определении графа как упорядоченной пары необходимо записывать компоненты этой пары в треугольных скобках.

Пункт 2 – это примеры, иллюстрирующие пункт один. В частности, там указано определение графа, как вы должны его воспроизводить на экзамене.

Пункт 3 описывает, что я жду от вас при ответе на каждый из вопросов. Разумеется, я не раскрою сам ответ на вопрос (для этого мне надо было бы набрать все мои лекции), но я напишу, что именно надо осветить при своем ответе. Естественно, некоторые расширения ответа приветствуются. Если вам покажется, что вы чего-то не знаете (не было в лекциях, или соответствующая их часть почему-то недоступна), можете написать мне – я либо наберу это, если времени хватит, либо расскажу на консультации.

0. Нотация

Пусть имеются некоторый набор различных объектов . Будем составлять последовательности объектов из этого набора. Длиной (размером, можностью) последовательности будет называться число . В зависимости от того, какие последовательности будут считаться одинаковыми и по каким правилам они могут составляться, будем говорить, что:

• – множество, если каждый объект последовательности входит в нее только один раз, и при этом две последовательности одинаковы, если различаются только порядком чередования объектов. Обозначать множество будем путем взятия его элементов в фигурные скобки (например, множества и совпадают).

• – мультимножество (комплект), если объекты могут входить в последовательность более одного раза, и две последовательности одинаковы, если различаются только порядком чередования объектов. Обозначать мультимножество будем путем взятия его элементов в круглые скобки (например, мультимножества и одинаковы).

• – вектор (кортеж), если объекты могут входить в последовательность более одного раза, и две последовательности различны, если они различаются хотя бы в одной позиции (в частности, если имеют разную длину). Обозначать вектор будем путем взятия его элементов в треугольные скобки (например, векторы , и различны).

• – упорядоченное множество, если объекты могут входить в последовательность только один раз, и две последовательности различны, если они различаются хотя бы в одной позиции (в частности, если имеют разную длину). Обозначать упорядоченное множество будем путем взятия его элементов в квадратные скобки (например, упорядоченные множества , и различны).

0. Некоторые определения

В соответствии с введенными выше обозначениями, можно определить уже знакомые нам объекты:

• Сочетание – это подмножество (не важен порядок, каждый объект входит в сочетание только один раз).

• Размещение – это упорядоченное подмножество (важен порядок, каждый объект входит в размещение только один раз).

• Сочетание с повторениями – это «мультиподмножество» (не важен порядок, каждый объект входит в сочетание с повторениями один или более раз).

• Размещение с повторениями – это вектор (важен порядок, каждый объект входит в сочетание с повторениями один или более раз).

• Обыкновенный граф – это упорядоченная пара , где – конечное непустое множество вершин, . То есть: – подмножество множества двухэлементных подмножеств . Замечательно, что при таком определении входящие в пары автоматически образуются различными элементами, т. к. множество не может содержать двух одинаковых элементов.

0. Содержание вопросов

Здесь я напишу, что хочу видеть в вашем ответе на каждый из вопросов.

1. Правила сложения и умножения. Принцип Дирихле. Числа сочетаний и размещений (с повторениями и без повторений).

2. Бином Ньютона, полиномиальная формула. Тождество Паскаля. Свойства биномиальных и полиномиальных коэффициентов.

3. Формула включений и исключений.

4. Рекуррентные соотношения и формальные ряды. Действия с формальными рядами.

5. Линейные стационарные однородные рекуррентные соотношения и метод их решения. Последовательность Фибоначчи.

6. Комбинаторика разбиений. Рекуррентные соотношения для упорядоченных и неупорядоченных разбиений. Формула Харди-Рамануджана. Диаграммная техника.

7. Преобразование Абеля и суммирование по частям.

8. Простейшие оценки факториалов и биномиальных коэффициентов. Формула Стирлинга. Асимптотика для биномиальных коэффициентов.

В этих билетах все как было в лекциях. Для формулы включений и исключений хочу доказательство, для последовательности Фибоначчи – ее определение и вывод формулы общего члена. Свойства биномиальных и полиномиальных коэффициентов – с доказательствами, как на лекциях. Формула Харди-Рамануджана – просто формула, без доказательства, конечно. Диаграммная техника – описание и пример использования, как было на лекции.

9. Графы и их разновидности. Важнейшие семейства графов.

Основное определение обыкновенного графа. Разновидности графов (обыкновенные, ориентированные, мультиграфы, графы с петлями и другие, если вы о них знаете) и то, как они получаются путем уточнения понимания компоненты . Семейств – сколько вспомните, столько и приведите (с определениями, конечно, а не просто перечисление). Хватит штук пять.

10. Изоморфизм графов. Вложение и пересечение графов. Симметрия графов.

Определение обыкновенного графа, определение изоморфизма, вложения и пересечения, разные постановки задач. Определение автоморфизма графа.

11. Групповые свойства множества автоморфизмов графа.

Здесь нужно определение автоморфизма, группы, операции композиции двух автоморфизмов и доказательство того, что множество автоморфизмов с этой операцией образует группу. Там надо проверить ассоциативность, наличие единичного элемента и наличие обратного элемента. Вроде просто.

12. Понятие об инварианте. Характеристики инвариантов. Примеры простейших инвариантов.

13. Связность в графах и орграфах. Слабая, односторонняя и сильная связность ориентированных графов.

Тут все по лекциям. Характеристики инвариантов – вычислительная сложность и разрешающая способность. Последняя нуждается в определении.

14. Деревья. Различные определения деревьев и их эквивалентность.

Возьмите три определения дерева (какие вам нравится) и докажите их эквивалентность. Обычно берут такие:

• Дерево – связный граф, не имеющий циклов;

• Дерево – связный граф, у которого количество ребер на одно меньше, чем количество вершин;

• Дерево – граф без циклов, такой, что добавление любого ребра к нему образует цикл.

Доказательства вроде совсем простые. Естественно, нельзя привлекать к доказательству формулу для цикломатического числа графа, так как она и выводится при помощи этих свойств деревьев.

15. Деревья. Коды Прюфера. Формула Кэли.

Определение дерева (любое). Алгоритмы построения кода Прюфера и восстановления дерева по коду (без доказательств). Вывод формулы Кэли при помощи кодов Прюфера. Будьте осторожны: кодируются ПОМЕЧЕННЫЕ деревья, так что и формула верна для ПОМЕЧЕННЫХ же деревьев.

16. Деревья. Изоморфизм деревьев.

Определение дерева (любое). Тут мне нужно определение порядка на множестве деревьев. Рассказывалось на лекции.

17. Структуры данных на основе деревьев. Бинарные деревья поиска и бинарные кучи. Декартово дерево и алгоритм его построения.

18. Лес непересекающихся множеств и подсчет числа компонент связности в обыкновенных графах.

19. Каркас. Построение каркаса минимального веса: алгоритмы Крускала и Прима.

Для алгоритма Крускала доказательство корректности нужно, для Прима – не нужно.

20. Задача о кратчайших путях. Алгоритм Флойда.

21. Задача о кратчайших путях. Алгоритм Дейкстры.

Здесь только постановки, формулировки и условия применимости.

22. Обходы графов. Обход в глубину. Дерево обхода в глубину и его применения: поиск точек сочленения, топологическая сортировка.

23. Обходы графов. Обход в ширину. Дерево обхода в ширину и его свойства.

24. Подграфы и их виды. Остовные подграфы. Каркас, клика, независимое подмножество вершин.

25. Пространство подграфов. Подграфы четной степени и их свойства.

26. Пространство подграфов. Фундаментальное множество циклов и метод его построения.

Без комментариев.

27. Задача о клике. Переборный алгоритм и простейшие методы сокращения перебора. Алгоритм Брона-Кербоша.

Постановка задачи, описание переборного алгоритма и какие-нибудь способы сократить перебор. Про Брона-Кербоша – вкратце идеи этого метода.

28. Задача коммивояжера. Динамический алгоритм. Алгоритм ближайшего соседа.

29. Хроматическая функция графа.

Определение, способ вычисления. Факт: является инвариантом (почему?)

30. Вершинные и реберные раскраски графов. Алгоритм вершинной раскраски. Теорема Визинга.

Без комментариев.

31. Теорема Эйлера для планарных графов. Теоремы о 6- и 5-раскраске планарных графов.

Здесь все с доказательствами. Поскольку доказательство теоремы Эйлера весьма непростое и требует знания математики, которую вам еще в общем-то не читали, для нее ограничьтесь схемой доказательства.

32. Паросочетания и реберные покрытия. Метод увеличивающих путей.

Постановка задач о паросочетаниях и реберных покрытиях, сводимость второй к первой. Определение увеличивающегося пути и его свойства.

33. Матроиды. Матричный матроид и графовый матроид

34. Матроиды. Жадный алгоритм и теорема Рао-Эдмондса.

Что такое матроид. Про матричный и графовый матроиды мне нужно определение и доказательство того, что это матроиды. Про жадный алгоритм – описание, про теоремы – формулировка и доказательство.