Лемма 4.

Если число рёбер и вершин удовлетворяют неравенству , то граф не является связанным.



По лемме 3 , значит граф не связан.

Замечание.

Почти все графы связаны.

Деревья. Определение 3.

Деревом называется связанный граф без циклов.

Теорема 1 (характеристические свойства дерева).

Условия эквивалентны:

1. Граф G является деревом;

2. и нет циклов;

3. и граф связен;

4. Граф связен и удаление любого ребра делает граф не связанным;

5. Граф связен, нет циклов, но добавление любого нового ребра приводит к циклу.



По лемме 3 .

Если бы граф не был связен, то , что противоречит .

По лемме 4.

Если в графе есть циклы, то применяем лемму 2, если нет – лемму 4.

Если бы граф не был связен, то соединение ребром вершин из разных компонент не давало бы цикла (противоречие условию 5). 

Утверждение.

Дерево с вершин имеетвисячих вершин (т. е. степени 1).

по крайней мере две вершины степени 1. 

Лекция № 3.

ОСТОВЫ.

Определение 1.

Подграф графаназывается остовным, если.

Определение 2.

Остовный подграф графа G, являющийся деревом называется остовом графа G (остовным деревом).

G остовы G

Теорема 1 (матричная теорема Кирхгофа).

Пусть А – матрица смежности графа, , тогда алгебраическое дополнениеэлемента матрицы М равно числу остовов графаG.

Пример.

Все 8 остовов графа:

Определение 3.

Полным графом с n вершин – граф, который имеет все возможные рёбра, т. е.исмежны.

Теорема 2 (Кэли).

Число деревьев с n помеченными вершинами равно.

Для n=1 и n=2 очевидно. Пусть число вершин , тогда каждое дерево является остовом полного графаи для подсчёта их числа используем матричную теорему Кирхгофа.



Пример.

Определение 4.

В корневых деревьях выделяется одна вершина, которая является корневой.

Утверждение 1.

Число корневых деревьев с n помеченными вершинами равно .

Определение 5.

Бинарное корневое дерево это (L, c, R), где L – левое поддерево, c – корень, R – правое поддерево.

Утверждение 2.

Число бинарных корневых деревьев с n вершинами равно .

Пример.

Лекция № 4.

ЗАДАЧА О МИНИМАЛЬНОМ ОСТОВЕ.

Дан связный граф и, называемое весом. Требуется найти остовс наименьшим суммарным весом.

Алгоритм.

Т – часть min остова.

1. Пусть k=1 – число вершин в остове и в качестве остова Т – любая вершина.

2. Рассмотрим все рёбра и найдём среди них рёбраmin веса .

3. 

4. Если , то повторяем пункт 2.

Теорема 1.

Число операций для осуществления этого алгоритма – построения минимального остова графа из n вершин .



Пример.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И РАЗРЕЗЫ.

Пример.

Циклы графа образуют линейное пространство над полем из двух элементов . Базис в этом пространстве образует цикл, который называется фундаментальным.

Размерность пространства циклов – цикломатическое число .

Алгоритм построения фундаментальных циклов:

1. Взять любой остов (рёбра, не входящие в остов, называются хордами) и занумеровать сначала хорды, а потом рёбра остова.

2. Последовательно присоединять по одной хорде (при этом образуется один цикл).

3. Если написать фундаментальную матрицу циклов, то строки матрицы будут линейно не зависимыми.