Пример.
Пусть
,
объекты – элементы множества
.
Свойство
стоит в принадлежности множеству
.
Тогда
(каждый элемент обладает хотя бы одним
свойством).
По формуле (2)
Пример.
Объекты –
перестановки на множестве
.
Свойство
– элемент
неподвижен,
.
Тогда
При этом
.
При n=3,k=1
получим
Три такие
перестановки:
.
При n=3,k=2
получим
(Если 2 элемента на месте, то и 3-й тоже
на месте).
При n=3,k=3
получим
Перестановка:
.
При n=3,k=0
получим
Две такие
перестановки-циклы:
.
Пример.
–количество
простых чисел
.
Вычислим
.
Число
– простое
оно не делится на простые числа
(это легко доказать, используя разложениеn
на простые множители
,
число 1 по определению простым не
является).
В случае чисел
достаточно проверить, что число не
делится на
.
Итак, N
= 100. Свойство
состоит в делимости на
Количество чисел
среди
,
не делящихся на 2, 3, 5 или 7:
Из множества таких чисел надо удалить 1 и добавить простые числа 2, 3, 5, 7.
Все простые числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
В общем случае
известна асимптотика при
.
(П. Л. Чебышёв,
Валле-Пуссен, XIX
век).
Экзаменационная программа.
Сумма степеней всех вершин графа. Лемма о рукопожатиях.
Матрицы смежности и инциденций простого графа. Их свойства.
Эйлеровы циклы и контуры. Необходимые и достаточные условия их существования.
Леммы о рёбрах, циклах и связных компонентах графа.
Дерево, его характеристические свойства.
Число остовов графа. Число деревьев с n помеченными вершинами.
Фундаментальные циклы, цикломатическое число.
Фундаментальные разрезы, коцикломатическое число.
Матрицы фундаментальных циклов и разрезов графа. Соотношение между ними.
Формула Эйлера для связных плоских графов.
Следствия из формулы Эйлера.
Непланарность графов
и
.
Критерий планарности (т.
Поптрягина-Куратовского).Хроматическое число. Теоремы о 5 и 4 красках.
Двудольные графы, длины их простых циклов.
Алгоритм построения минимального остова, его сложность.
Совершенные паросочетания в двудольных графах, необходимое и достаточное условие их существования.
Свойства потоков и разрезов в транспортных сетях.
Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе.
Биноминальные коэффициенты и их свойства.
Число сочетаний без повторений и с повторениями.
Производящие функции и их общие свойства.
Нахождение сочетаний и их числа с помощью производящих функций.
Нахождение числа размещений с помощью экспоненциальных производящих функций.
Числа Фибоначчи, рекуррентное соотношение и его решение.
Числа Стирлинга II рода и числа Белла, их применение в содержательных задачах. Рекуррентные соотношения.
Формула общего решения линейного однородного рекуррентного уравнения.
Формула включений – исключений.