Пример.

Числа Белла – число всех разбиенийn-множества, оно же равно числу отношений эквивалентности на n-множестве.

Утверждение 2.

Пусть (n+1)-множество . Все его разбиения можно получить так: взять разбиениеk-подмножества множестваи в каждый его блок (любой из) поместить элемент. Еслиk изменять от 0 до n, то мы получим все разбиения U.

Можем построить таблицу чисел Белла:

n	0	1	2	3	4	5	...
	1	1	2	5	15	52	...

Пример («Задача Фибоначчи о кроликах», монах Леонардо Пизанский, XI в).

Есть пара (самец и самка) новорожденных кроликов. Через 2 месяца они могут размножаться. Размножаются они каждый месяц и пара рождает всегда тоже одну пару (самца и самку), которые через 2 месяца тоже будут размножаться каждый месяц и т. д.

–количество пар кроликов спустя n месяцев.

(через месяц исходные кролики ещё не размножаются).

–рекуррентное уравнение для чисел Фибоначчи и начальные условия.

Можем построить таблицу чисел Фибоначчи:

n	0	1	2	3	4	5	...
	1	1	2	3	5	8	...

Выведем замкнутую формулу для чисел Фибоначчи, т. е. выразим только через n.

Пусть – производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи.

Тогда сдвинув последовательность влево на 1, получим , а при сдвиге последовательности влево на 2 получим.

Т. к. образом, переходя от рекуррентного уравнения к уравнению для ПФ, получим .

Корни многочлена обозначим как , тогда

равно коэффициенту при : . Не смотря на эти иррациональности, все целые.

Определение 1.

Уравнение называется рекуррентным уравнением порядкаk для последовательности В данном случае члены последовательности могут быть любыми числами, коэффициентытоже, т. е..

Если , то уравнение называется однородным.

Утверждение 3.

Если , то неоднородное уравнение сводится к однородному заменойдля некоторой.

подставляем в уравнение:

. Уравнение станет однородным, если 

Метод решения однородных линейных уравнений порядка k аналогичен методу решения однородных линейных дифференциальных уравнений порядка k.

Определение 2.

Алгебраическое уравнение относительное

степени k называется характеристическим уравнением для .

Утверждение 4.

Если – корень характеристического уравнения, тоявляется решением уравнения.

Утверждение 5.

Если последовательности иявляются решением уравнения, то любая их линейная комбинациятакже является решением этого уравнения.

Теорема 1. (Общее решение однородного уравнения)

Пусть – все корни характеристического уравнения, имеющие кратности. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид.

При фиксированных значениях получим частное решение.

Для нахождения частного решения используют начальные условия:

Пример.

Решить неоднородное уравнение.

Лекция № 16.

МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЙ-ИСКЛЮЧЕНИЙ.

Пример.

Пусть известны . Как найти?

Аналогично .

Пример. (Задача о встречах)

Найти число перестановок n элементов, при которых ровно k элементов остаются на месте (k неподвижных элементов).

В общем случае задача ставится так:

Имеется N объектов, они могут обладать свойствами . Для каждогоизвестно числообъектов, обладающих свойствамии, возможно, другими. Требуется найти числообъектов, обладающих ровноk свойствами из m.

Теорема 1.

Пусть , тогда

(общая формула включений-исключений).

В частности число объектов, не обладающих ни одним из свойств (частная формула включений-исключений).

Если объект обладает ровно k свойствами, то в правой части формулы (1) он учтён только в слагаемом для r=k, причём ровно 1 раз.

Пусть объект А обладает ровно p (p>k) свойствами. Тогда в правой части формулы (1) он учтён в слагаемых для . В каждое такое слагаемое А входит ровнораз, т. к. имеется ровноподмножеств , содержащих А. Покажем, что (3).

Рассмотрим формулу бинома .

Дифференцируем:

Ещё раз дифференцируем:

...

После k дифференцирований: .

Положим t = –1:

Поделим на и тем самым докажем, что формула (3) имеет место.

Итак, в правой части формулы (1) объект, обладающий ровно k свойствами, учтён ровно 1 раз, остальные объекты учтены 0 раз, т. е. формула (1) верна. Формула (2) получается из (1) при k =0.