Пример.

С помощью ЭПФ найти число размещений из 3 по 4.

Замечание.

Мы вычислили также и т. д. как коэффициенты при соответствующих.

Пример.

С помощью ЭПФ найти число размещений изn по k.

Т. к. ограничения на число вхождений отсутствуют, то каждый элемент может входить 0, 1, 2 ...k раз.

Разложим в ряд и найдём коэффициент при :

Коэффициент при равен.

Лекция № 15.

ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Часто комбинаторные числа выражаются через предыдущие члены той же последовательности.

Пример. (задача о разрезании пиццы).

На сколько частей делят плоскость n прямых, из которых любые 2 пересекаются и никакие 3 не пересекаются в 1 точке?

–искомое число.

Очевидно:

Пусть есть прямых. Проведём ещё одну, она пересекаетв точках. Эти точки разбиваютнаn частей, принадлежащих новым n частям плоскости . Это и есть рекуррентное уравнение для последовательности.

С учётом начального условия можем вычислить.

Таким образом является решением уравнения.

Пример.

Известно рекуррентное соотношение для :

Пример.

Числа Стирлинга II рода – число разбиенийn-множества на k непустых блоков, .

Утверждение 1.

Пусть n-множество . Все его разбиения можно разделить на 2 группы:

1. Те, которые содержат блок . Их число равно числу разбиений (n – 1)-подмножества на (k – 1) блоков, т. е. .

2. Те, которые не содержат блок . Они соответствуют разбиениям подмножестванаk блоков, и в любой из этих k блоков поместим . Таких разбиений ровно.

По правилу суммы .

Следствие.

Из начальных условий

и рекуррентного уравнения можно построить таблицу для чисел, аналогичную треугольнику Паскаля для чисел. Справа в столбце указаны суммы строк таблицы.

	0	1	2	3	4	...	k
0	1							1
1	0	1						1
2	0	1	1					2
3	0	1	3	1				5
4	0	1	7	6	1			15
n

Числа Стирлинга II рода применяются во многих задачах, в частности:

Пример («Задача о пирогах и тарелках», один из вариантов).

Сколькими способами можно n различных пирогов разложить по k различным тарелкам так, чтобы не было пустых тарелок?

Ответ:

Пример (задача эквивалентна предыдущей).

Найти число сюръекций n-множества А на k-множество B.

Ответ: