Теорема 3.

.

Универсальное множество . Рассмотрим выборку G объёма k: .

Поставим G в соответствие вектор число вхожденийв выборкуG.

Положим , т. е. установим соответствие.

Число выборок G равно числу таких векторов y, что

.

Число таких векторов y равно количеству разбиений числа n+k в сумму n натуральными слагаемых .

Изобразим число в видеm точек на 1 строке. n+k точек надо разбить на n групп точек палочками. Палочки можно ставить в промежутках между этими точками. Промежутков n+k–1. На эти промежутки надо поставить n – 1 палочку. способов. 

Пример.

Лекция № 13.

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ.

Определение 1.

Рассмотрим последовательность комбинаторных чисел и рассмотрим формальный степенной ряд. Этот ряд называется производящей функцией для последовательностиа.

Пример.

Последовательность

Свойства производящих функций:

1. Линейность.

Если , то

2. Сдвиг влево на m элементов.

3. Сдвиг последовательности вправо на m элементов.

4. Дифференцирование и интегрирование производящих функций.

Если , то

Рассмотрим производящие функции для часто встречающихся последовательностей:

1.

2.

I способ.

II способ.

3.

Интегрируем 2й пример

4. по свойству 1.

Метод построения производящей функции для числа сочетаний с заданной спецификацией .

–число вхождений элементов типав сочетание.

1. Если входит в сочетание ровнораз, то ему соответствует множитель

2. 

3. –коэффициент при в разложении.

Метод построения производящей функции для самих сочетаний с заданной спецификацией .

–число вхождений элементов типав сочетание.

1. Если входит в сочетание ровнораз, то ему соответствует множитель

2. 

3. Сочетания будут коэффициенты при в разложении.

Пример.

С помощью ПФ найти из 3 по 4 и сами сочетания.

Лекция № 14.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ.

В предыдущей лекции рассматривались производящие функции для последовательности комбинаторных чисел , в которых комбинаторное числоявлялось коэффициентом прив этом формальном степенном ряде. С помощью производящих функций можно находить число сочетаний заданной спецификации (набором условий на число вхождений элементов в сочетание).

Определение 1.

Пусть – последовательность комбинаторных чисел (целых, неотрицательных). Экспоненциальной производящей функцией (ЭПФ) для этой последовательности называется степенной ряд, т. е. числоявляется коэффициентом при.

Пример.

Рассмотрим последовательность для числа размещений изn элементов. Эля неё ЭПФ является функция .

Замечание.

Очевидно, ЭПФ обладает свойством линейности: если , то.

Рассмотрим примеры ЭПФ для некоторых часто встречающихся последовательностей.

1. 

2. 

3. 

4. 

ЭПФ применяются для нахождения числа размещений (упорядоченных сочетаний) заданной спецификации , где– условие на число вхождений элементатипав размещение.

Метод построения экспоненциальной производящей функции для числа размещений с заданной спецификацией .

–число вхождений элементов типав сочетание.

1. Если входит в сочетание ровнораз, то ему соответствует множитель

2. 

3. Числом размещений будет коэффициент при в разложении.