3. Погрешность измерений

3.1. Основные сведения

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины (МИ 2247-93). Погрешности измерений определяются, главным образом, погрешностями средств измерений (СрИз), но это понятия не идентичные [2].

По месту возникновения различают инструментальные погрешности и методические. Инструментальными погрешностями СрИз называют такие, которые принадлежат данному средству измерений и возникают вследствие недостаточно высокого качества его элементов. Методические погрешности связаны не с самим средством измерений, а с методом проведения измерений. Причинами появления методических погрешностей являются также неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины [3].

Статические и динамические погрешности, присущие как средствам, так и методам измерений, различают по их зависимости от скорости изменения измеряемой величины во времени. Погрешности, не зависящие от этой скорости, называются статическими. Погрешности же отсутствующие, когда эта скорость близка к нулю, и возрастающие при ее отклонении от нуля, называются динамическими. Динамической погрешностью средства измерения является разность между погрешностью средства измерения в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени.

В зависимости от характера изменения, возможностей устранения и причин возникновения различают систематические, прогрессивные и случайные погрешности.

Систематическими называют погрешности измерений, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессивными называются погрешности, медленно изменяющиеся во времени.

Случайными называются погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. При этом процесс появления случайных погрешностей средств и результатов измерений за вычетом систематических и прогрессивных погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную и относительную погрешности измерений.

Абсолютной погрешностью ( ) называют разность между измеренным и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

, (3.1)

где Х – результат измерения;

Х_ист – истинное значение измеряемой величины;

Х_Д – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения ( ) представляет собой отношение абсолютной погрешности измерения к истинному (действительному) значению измеряемой величины и выражается в процентах или долях измеряемой величины.

(3.2)

3.2. Задачи и примеры

3.2.1. Для измерения ЭДС Е = 2,5 В источника с внутренним сопротивлением R₀ = 10 Ом использован вольтметр с внутренним сопротивлением R_v = 1000 Ом. Определите абсолютную и относительную погрешности метода измерения.

Рис. 3.1

Решение. Показания вольтметра, согласно рис. 3.1, равны . Следовательно, при этом возникает методическая погрешность, абсолютное значение которой согласно формуле (3.1) равно:

Относительная погрешность метода из формулы (3.2):

3.2.2. Определите относительную погрешность метода измерения ЭДС датчика рН-метра электронным вольтметром постоянного тока с входным сопротивлением R_V = 10 Мом. Датчик представляет собой генератор ЭДС с внутренним сопротивлением R₀= 2 МОм.

Ответ: .

3.2.3. Электрическая цепь состоит из последовательного включенных источника ЭДС Е = 100 мВ и резистора с сопротивлением R = 100 Ом. Для измерения тока в цепь включены миллиамперметр с внутренним сопротивлением R_A = 7,5 Ом. Определите относительную и абсолютную погрешности метода измерения, вызванную включением миллиамперметра. Нарисуйте схему измерения.

Ответ: мА; .

3.2.4. При косвенном измерении сопротивления R_x постоянному току (рис. 3.2) получены показания амперметра I_А = 130,4 мА и вольтметра U_V = 52,3 В. Определите относительную и абсолютную погрешности метода,

Рис. 3.2 Рис. 3.3

если вольтметр имеет входное сопротивление R_V = 10 кОм.

Ответ: ; Ом.

3.2.5. При косвенном измерении сопротивления постоянному току R_x (рис. 3.3) показания амперметра и вольтметра соответственно равны I_А = 345 мА, U_v = 5,45 В. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если амперметр имеет сопротивление R_A = 0,35 Ом.

Ответ: ; Ом.

3.2.6. При косвенном измерении мощности P_x, потребляемой нагрузкой R_x на постоянном токе, используется схема рис. 3.2. Показания приборов, полученные при измерении: U_V = 34,5 В, I_A = 210 мА. Определите абсолютную и относительную погрешности метода, если сопротивления приборов соответственно равны: вольтметра R_V = 4000 Ом, амперметра R_A = 2,5 Ом.

Решение. Приближенное значение потребляемой мощности будет равно

Вт

Этот результат будет содержать методическую погрешность, вызванную потреблением мощности вольтметром, абсолютное значение которой будет равно

, где

Следовательно,

Вт.

Относительное значение методической погрешности будет равно

.

3.2.7. Решите задачу, аналогичную 3.2.6. при условии, что для измерения используется схема рис. 3.3.

Ответ: ; Вт.

3.2.8. Необходимо измерить сопротивление R_Х = 10 Ом с помощью вольтметра с сопротивлением R_V = 100 Ом и амперметра с сопротивлением R_A = 1 Ом. Какую схему (рис. 3.2, рис. 3.3) нужно выбрать, чтобы получить меньшую погрешность метода?

Ответ: схему рис. 3.2.

3.2.9. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью ваттметра и вольтметра в соответствии с зависимостью (рис. 3.4).

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра P_w = 100 Вт, вольтметра U_v = 150 В, входное сопротивление вольтметра R_v = 2000 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

Ответ: ; Ом; R_x = 250 Ом.

3.2.10. Сопротивление R измеряется косвенным методом с помощью вольтметра и амперметра (рис. 3.5) в соответствии с зависимостью . Определите погрешность метода и исключите ее, если показание вольтметра P_W = 100 Вт, амперметра I_A = 1 A, сопротивление амперметра R_A = 1 Ом. Сопротивление токовой катушки вольтметра , катушки напряжения .

Ответ: ; Ом; R_x = 99 Ом

3.2.11. Измерительный преобразователь представляет собой апериодическое звено. Какую он должен иметь постоянную времени Т, чтобы через время установления t_уст = 2,3 с относительное значение динамической погрешности было не более ?

Ответ: Т = 1 с.

3.2.12. После включения измерительного генератора гармонических колебаний в сеть, частота его колебаний измеряется по закону , где кГц – номинальное значение частоты генератора, считываемое с его шкалы; кГц – значение частоты в момент включения; Т = 5 мин – тепловая постоянная времени. Определите необходимое время прогрева, если допустимая погрешность установки частоты .

Ответ: мин