![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •8. Почленное дифференцирование функционального ряда
- •17. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье (без док-ва).
- •20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
- •21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).
- •24. Критерий квадрируемости множества.
- •Св-ва двойного интеграла
- •3 В .3.Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.
- •37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.
- •38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.
- •46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.
- •47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.
- •48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.
- •49. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.
Пусть векторное поле (M)
=P(M)
+Q(M)
+R(M)
определено в области Ω и дифференцируемо
в точке М
Ω.
Опр.Дивергенцией векторного поляв точке М называется число:
div=
+
+
(где частные производные вычисляются
в точке М).
Заметим, что если векторное поле диффиренцируемо в области Ω, тоdiv
есть скалярное поле, определенное в Ω.
Пусть векторное поле (M)
непрерывно-дифференцируемо в области
Ω. Фиксируем
0
Ω.
Рассматриваем замкнутую поверхностьS,
лежащую в Ω, содержащую внутри точку
0
(например, сферу с центром в точке
0).
Обозначим черезG–
область, ограниченную поверхностьюS.
По теореме Остроградского-Гаусса: dσ=
(
– единичная внешняя нормаль кS).
Т.к. векторное поле (M)
непрерывно дифференцируемо в Ω и
лежит в Ω, =>div
непрерывна вG, => по
теореме о среднем для тройного интеграла:
:div
(М)*V=
dσ,
гдеV- объем областиG.
div
|M =
.
Стягиваем поверхность Sв точку0.
Обозначим черезd(G)
– диаметрG.
Т.к. divнепрерывна в
,
=>div
непрерывна в точке
0,
то
M
= div
|Mo ,
=>
div
|Mo =
(*).
Если предел в правой части равенства
(*) существует, то этот предел и называется
дивергенцией векторного поля в точке
0.
47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.
Поток векторного поля через
поверхность.
Пусть Ф – кусочно-гладкая
двусторонняя поверхность. Фиксируем
определенную сторону поверхности Ф и
обозначим через– единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности Ф. Пусть векторное
поле
определено на поверхности Ф.
Потоком векторного поля
через поверхность Ф называется величина
(2).
Заметим, что если Ф – кусочно-гладкая
поверхность и вектор-функция непрерывна на Ф, то интеграл (2) существует.
Векторная формулировка теоремы
Остроградского-Гаусса.
Пусть Ω - ограниченная область в
с кусочно-гладкой границей Ф. Пусть
векторное поле
непрерывно в Ω и частные производные
непрерывны в
.
Тогда
,
где
– единичная нормаль к внешней стороне
поверхности Ф.
Другими словами, поток вектора через
замкнутую поверхность в сторону внешней
нормали равен тройному интегралу от
дивергенции по области, ограниченной
данной поверхностью.
Пусть векторное
поле непрерывно-дифференцируемо в области
Ω. Фиксируем
.
Рассматриваем любую замкнутую поверхность
,
содержащую внутри точку
(например, сферу с центром в точке
).
Обозначим через G – область, ограниченную
поверхностью S. По теореме
Остроградского-Гаусса:
(– единичная внешняя нормаль к S). Т.к.
векторное поле
непрерывно дифференцируемо в Ω и
по теореме о среднем для тройного
интеграла
:
,
где V – объем области G.
Стягиваем поверхность S в точку .
Обозначим через d(G) – диаметр G. Т.к.
непрерывна в т.
,
то
(3)
Если предел в правой части равенства
(3) существует, то этот предел и называется
дивергенцией векторного поля в точке
.
48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.
Ротор векторного поля.
Пусть векторное полеопределено в области Ω и дифференцируемо
в точке М
Ω.
Ротором поля
в точке М называется вектор
(все частные производные вычислены в т. М)
Или
Циркуляция векторного поля.
Пусть векторное поле определено в т. М.
Пусть Г – кусочно-гладкий замкнутый ориентированный контур, лежащий в Ω.
Циркуляцией поля
вдоль контура Г называется величина
и обозначается:
Заметим, что если векторное поле непрерывно в Ω
Теорема Стокса.
Пусть векторное поле определено в области Ω, Г – кусочно-гладкий
ориентированный замкнутый контур,
лежащий в Ω. Пусть Ф – гладкая двусторонняя
поверхность, лежащая в Ω, ограниченная
контуром Г. Фиксируем определенную
сторону поверхности Ф. Обозначим через
– единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности Ф. Ориентацию на Г
выбираем так, что если смотреть с конца
вектора
на Г, то обход по Г производится против
часовой стрелки.
Если векторное поле
непрерывно дифференцируемо в Ω, то
,
т.е.
Циркуляция вектора вдоль контура Г равна потоку rot
через поверхность, ограниченную этим
контуром.
►Доказательство проводим в частном случае, когда поверхность Ф однозначно проецируется на все координатные плоскости. Нужно доказать равенство
(1)
Заметим, что интегралы в (1) существуют, т.к. векторное поле
непрерывно дифференцируемо в Ω
функции P, Q, R и их частные производные
первого порядка непрерывны в Ω и Г, Ф
Ω.
-- доказать
Достаточно доказать равенства:
,
(2)
,
(3)
(4)
Докажем (2). Т.к. Ф однозначно проецируется на плоскость Оху, то Ф можно задать:
,
где функция f(x,y) непрерывно дифференцируема
на
(в силу гладкости
).
Т.к.
ортогонален поверхности
,
,
.
Обозначим через L–
проекцию P на плоскость ОхуL – граница D, причем L – кусочно-гладкий
замкнутый плоский ориентированный
контур
по формуле Грина:
Рассмотрим криволинейные интегралы
и
.
Пусть
Пусть N – проекция точки M на Оху, значение функции
в точке М совпадает со значением функции
в точкеN.
Если L задать параметрически, то:
L:,
то
Г:
в обоих интегралах по Г и поL.
Следовательно, и
сводятся к одному и тому же определенному
интегралу,
Отсюда и из (5) получаем равенство (2). Равенства (3),(4) доказываются аналогично, т.к. поверхность Ф однозначно проецируется на все координатные плоскости. ◄