![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •8. Почленное дифференцирование функционального ряда
- •17. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье (без док-ва).
- •20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
- •21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).
- •24. Критерий квадрируемости множества.
- •Св-ва двойного интеграла
- •3 В .3.Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.
- •37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.
- •38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.
- •46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.
- •47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.
- •48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.
- •49. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Теорема.Пустьf(x,y)
и непрерывны на [a,+∞)×[c,d].
Пусть
сходится на [с,d] и
сходится равномерно на [c,d].
Тогда функция Φ(y)=
непрерывно дифференцируема на [c,d]
иΦ'(y)=
,
y
[c,d].
Доказательство.Рассмотрим
последовательность {ηn},
такую что η1=a, ηn≥a,{ηn}
+
.
Рассмотрим функциональный ряд
Т.к. сходится на [c,d],
то => функциональный ряд
сходится на [c,d]
и его сумма равна
Φ(y), =>
Φ(y) =.
Докажем, что функции непрерывно дифференцируемы на [c,d].
=
-
собственный интеграл, зависящий от
параметра.
Т.к. f(x,y)
инепрерывны на [a,+∞)×[c,d],
тоf(x,y)
и
непрерывны на
[ηn,ηn+1)×[c,d],
=> по теореме о дифференцировании
собственного интеграла по параметру:
на [c,d]
,
причем
.
Т.к. непрерывна на
[ηn,ηn+1)×[c,d],
=>
.
Докажем, что сходится равномерно на [c,d].
Т.к. сходится равномерно на [c,d],
то ряд
сходится равномерно к
на
[c,d]
(доказывается так же, как равномерная
сходимость функционального ряда в
теореме о непрерывности собственного
интеграла, зависящего от параметра:
вместоf=>
), т.е. ряд
сходится равномерно на [c,d].
Тогда по теореме о почленном
дифференцировании функционального
ряда имеем: Φ'(y)
=
=
=
,
y
[c,d].
Т.к. непрерывна на [a,+∞)×[c,d]
и
сходится равномерно на [c,d],
=> по теореме о непрерывности
несобственного интеграла, зависящего
от параметра, получаем, чтоΦ'(y)
непрерывна на [c,d].
(доказано).
Замечание. Φ'(y)=
=
при условиях теоремы
23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).
Опр:Элементарной фигурой на пл-ти Оху называется множество, которое есть объединение конечного числа прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.
Опр:Пусть Г-кривая на пл-ти Оху.
Кривая Г называется кривой площади
(меры) нуль, еслиэлементарная фигура, содержащая Г,
площадь которой меньше
.
Утв:График функции, непрерывной на отрезке, имеет площадь нуль.
Док-во: Г: y=f(x), x[a,b].Фикс.
.
Т.к. f(x) непрерывна на [a,b]=>она равномерно
непрерывна на нем,=> для
.
Пусть
<1.
Построим на пл-ти Оху сетку с шагом
и
.
Рассмотрим любой «столбик», содержащий
кусок Г, расположенный на одном шаге
.
Высота столбика
,
длина =
,
площадь
«столбика»
.
Число «столбиков»
площадь
элементарной фигуры, содержащей Г
Г
– кривая площади нуль.
Пусть кривая Г задана параметрически:
,
t
.
Опр:Г называется гладкой кривой,
если функциинепрерывно дифференцируемы на отрезке
t
.
Опр: Непрерывная кривая Г называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на коечное число гладких кусков.
24. Критерий квадрируемости множества.
Утв: Путь D- ограниченное множество на
плоскости с границей Г. Множество D
квадрируемо
мера
его границы Г равна нулю.
Док-во:
D
- квадрируемое множество. Пусть {A} –
множество элементарных фигур, таких
что A
D.
=sup
S(A), где S(A) – площадь фигуры А. Пусть {B}
– множество элементарных фигур, таких
что
.
Обозначим
=inf
S(B), где S(B) – площадь фигуры В.
Так как D -квадрируемое множество, то
=
=S
– площадь фигуры D. Фиксируем
,
по опред. sup и inf для
,
для
.
Рассмотрим Е=
\
- элементарная фигура. Е
Г.
Т.к.
D
,
то S(
\
)=S(
)-S(
),
следовательно S(E)
,
значит S(Г)=0, т.е. мера равна 0.
S(Г)=0, значит
элементарная фигура Е
Г,
S(E)
.
(интуитивно понятно, без док-ва=)). S(E) =
S(
)-S(
)
.
для данных
и
.
Следовательно, 0
D
– квадрируемое множество.
Билет 25 Двойной интеграл и его свойства
Пусть D – квадрируемое мн-во на плоскости,
разбиваем мн-во D на n частей Di так
чтобы: 1)2)
Т.к. все частичные мн-ва Diимеют кусочно-гладкие границы, то все Di – квадрируемые мн-ва.
Обознач. Si –площадь
Di ,,
Мн-во
,
т.ч. выполнены св-ва 1)2) называется
разбиением мн-ва D.
Обознач.
-
диаметр DiПусть
;- параметр разб.
Выбираем произвольную точку QiDiПусть f(x,y) опред. На D.
Выражение
называется
интегральной суммой для функции f, соотв.
разбиению.
Опр:Если,
независящий от разбиенияи выбора точек Qi, то этот предел
назыв.двойным интегралом ф-ции f на
мн-ве D и обозн.
Ф-ция f(x,y) назыв. интегр. На мн-ве D если
Теорема(Необходимое условиее интегрируемости)
Пусть D – квадрируемое мн-во и ф-ция f(x,y) интегр. На мн-ве D тогда f(x,y) ограничена на мн-ве D
Док-во поностью совпадает с док-вом соотв. теоремы для опред. интеграла
Пусть f(x,y) опред. на D(D – квадрируемое
мн-во).Пусть-
разбиение D Обозн
,
,
,
s,S-суммы
Дарбу
Теорема (Критерий интегрируемости):
Пусть f – ограниченная на D. Ф-ция f интегр.
На D
Док-во:Анал-но критерию интегр. Для опред. интеграла
Теорема(Достаточное условие
интегр-ти): Если f непрер. на,
то f интегр на D.
Док-во:соответствует док-ву теоремы
для определенного интеграла, основывалось
на св-ве равеомерной непрерывности
ф-ции на отрезке, т.к.- ограниченное и замкнутое, f – непрерывна
на
=> f равномерно непр-на на
=> док-во повторяет док-во соотв. теоремы
для определенного интеграла.