БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теоремы существования и единственности.

Точной верхней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- верхняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

> - . ( > - )

Точной нижней гранью числового множества ( ) называется число , такое что:

1) S- нижняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что

+ . ( + )

Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.

Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).

Пусть , , и , , причем и : . Тогда

: и .

, , ограничено сверху.

, .

, и , .

и

1)

2) > -

Предположим противное:

: .

- ,

. Получили противоречие.

Аналогично для = .

Теорема единственности: Если числовое множество не пусто и ограничено сверху (снизу), то у него есть единственная ( ).

Введем следующие условия:

1) числовое множество ограничено сверху, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

2) числовое множество ограничено снизу, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .

Доказательство:

Рассмотрим множество , состоящее из всех чисел , таких что для любого числа из множества будет . Такие числа существуют, так как множество ограничено сверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число , что для любых чисел (из ) и (из ).

Покажем, что = . По определению , для всех чисел из множества будет , так что первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие. Предположим, что оно не выполнено, т.е. есть такое положительное число ( >0), что для всех чисел из множества будет . Так как , то число не принадлежит множеству . Но это противоречит определению множества , которое было множеством всех чисел , таких что для любого числа из множества будет , а мы нашли число , тоже обладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству . Полученное противоречие показывает, что для числа выполнено и второе условие из определения верхней грани.

БИЛЕТ 2. Лемма о вложенных отрезках.

Пусть = , =1,2,…, причем …, то есть ,

. Тогда , то есть .

Доказательство.

Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. . Тогда:

а) - верхняя граница , то есть .

б) - наименьшая из всех границ, то есть .

.

Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

.

( ] ] ] ]

0 1/3 1/2 1

БИЛЕТ 3. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограни­ченность сходящейся последовательности.

Определение: функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

или ,

= , -общий член.

Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа ( >0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.