![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Доказательство:
Возьмем
число
>0.
Так как функция
непрерывна
в точке
то
можно подобрать такое число
,
что
для
любого
,
такого, что
.
(1)
А
так как функция
непрерывна в точке
,
то для положительного числа
можно подобрать такое число
,
что
для
любого
,
такого, что
.
(2)
Возьмем
любое число
такое, что
.
Тогда в силу (2)
число
удовлетворяет неравенству
,
и поэтому в силу (1)
.
Так как все эти вычисления проведены
для любого
>0,
то непрерывность функции
в точке
доказана.
БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.
Определение:
-точка
разрыва функции
,
если в точке
функция
не
является непрерывной.
Определение:
точка-точка
устранимого разрыва функции
,
если существует
,
но
не
определена в точке
,
либо
.
Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:
-
непрерывна в точке
.
Пример:
.
,
-
точка устранимого разрыва
.
Если
не
существует, то
-точка
неустранимого
разрыва
.
Определение:
Пусть точка-точка
неустранимого разрыва функции
,
тогда:
-
если существует
, то
.
-
если
, то
-точка разрыва функции
1-го рода.
-
если
, то
-точка разрыва функции
2-го рода.
Примеры:
1).
.
,
-
точка разрыва
1-го
рода.
2).
.
,
-
точка разрыва
2-го
рода.
3).
,
-
точка разрыва
2-го
рода.
4).
не
существует
точка
-
точка разрыва
2-го
рода.
,
.
Точка
-
точка разрыва
2-го
рода.
БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.
Определение:
непрерывна на
,
если
непрерывна в точке
,
непрерывна
на
,
если
непрерывна в точке
,
и
Существует
,
.
Теорема:
Пусть
определена на
и
,
причем
.
Тогда
.
Пусть
,
.
Используем метод деления отрезка
пополам.
Обозначим:
,
.
Определим
1)
=0
.
2)
<
0
,
.
3)
>
0
,
и так далее.
.
.
По
лемме о вложенных отрезках:
,
то есть
.
непрерывна
в точке
.
.
0
()
.
.
0
()
Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
Пусть
определена на
и
,
,
,
Тогда
:
.
Пусть
для ограничения
.
Рассмотрим
произвольн.
:
непрерывна
на
.
Из этих двух утверждений следует:
,
то есть
.
БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть
.
Тогда
ограничена
на
.