![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Арифметика бесконечно малых последовательностей.
Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Пусть
.
Возьмем произвольный
.
Аналогично
.
Обозначим
.
Тогда
.
То
есть
Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
,
-
ограниченная,
то есть
.
Возьмем
произвольный.
-
бесконечно
малая.
.
Обозначим
.
Тогда
.
То
есть
Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.
БИЛЕТ 6. Теорема об арифметике пределов последовательностей.
Пусть
,
.
Тогда:
1)
существует
2)
существует
3)
если
то
существует
.
Доказательства:
где
и
-
бесконечно малые последовательности.
1)
бесконечно малые.
бесконечно
малые.
2)
=
бесконечно малая бесконечно малая
бесконечно малая
3)
где
-
бесконечно малая последовательность.
По
условию
-ограниченная.
бесконечно
малая.
.
БИЛЕТ 7. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Определение:
-монотонно
возрастающая (монотонно убывающая),
если
(
).
Если неравенства строгие, то
последовательности строго возрастающие
(убывающие).
Теорема
(о пределе монотонной последовательности).
Пусть
-монотонно
возрастает и ограничена сверху. Тогда
она сходится, причем
.
Доказательство:
ограничена
сверху =>по теореме существования
точной верхней грани
.
Докажем, что
.
:
1)
2)
.
Возьмем
произвольный
,
обозначим
из
2).
1)=>
2)=>
(монот.
возр).
Из
этого следует, что
,
=>
.
Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)
(огр.
на б.м.).
БИЛЕТ 8. Число е.
Сложно
доказать, что функция
при
имеет предел. Этот предел обозначается
буквой
в
честь открывшего его петербургского
математика Леонарда Эйлера. Установлено,
что это- иррациональное число и что
=2,718281828459….
Формула, определяющая число
по
традиции называется второй замечательный
предел.
.
Также число
-основание
натуральных логарифмов.
Рассмотрим
.
1. Ограниченность.
-биноминальный
коэффициент.
+<
2. Монотонность.
+.
…
.
По
теореме о монотонности последовательности
-
сходится.
БИЛЕТ 9. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема о частичных пределах сходящейся подпоследовательности.
Определение:
Пусть дана некая последовательность
.
Из элементов этой последовательности
извлечем другую последовательность
,
где последовательность
-номера
элементов исходной последовательности,
причем
Тогда последовательность
-подпоследовательность
последовательности
.
Замечание:
Элементы подпоследовательности
выбираются в порядке их следования в
исходной последовательности.
.
Определение:
Если
,
то
-частичный
предел
последовательности
.
Теорема
(о частичных пределах сходящейся
подпоследовательности): Пусть
,
тогда
.
Доказательство:
Возьмем
произвольный
,
тогда
.
Возьмем
произвольную
.
Обозначим
.
Тогда
имеем:
.
Таким образом:
.
Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.
БИЛЕТ 10. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: (метод деления пополам).
I). Проведем построение системы отрезков.
ограниченная
.
Рассмотрим
точку
-
середину отрезка
.
1)
В отрезке
содержится бесконечное число элементов
.
Тогда
,
.
2)
В противном случае
,
,
-содержит бесконечное число элементов
.
Рассмотрим
точку
-
середину
и
так далее.
1.
2.
в
содержится бесконечное число элементов
.
3.
.
II). Выбор подпоследовательности
По
лемме о вложенных отрезках:
1)
произвольный
элемент из
2)
элемент
из
:
………………………………………………….
k)
элемент
из
:
Докажем,
что
.
0
().
.
БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.
Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).
1) Необходимость: (=>).
Пусть
.
Возьмем произвольный
Тогда
.
.
Обозначим
,
тогда
.
фундаментальна.
2) Достаточность: (<=).
1.
фундаментальна
=>
ограниченная
.
Возьмем
,
,
тогда
.
Обозначим
.
.
ограничена.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
ограниченная
=>
-
сходящаяся. Обозначим
3.
Докажем, что
Возьмем
произвольный
.
фундаментальная
=>
.
Обозначим
и выберем
-
k>K
-
Тогда
.
.
То есть
БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.
Пусть
определена
в некоторой выколотой
окрестности
т.
Определение
1 (Гейне):
,
если
,
,
Замечание:
Определение
2 (Коши):
,
если
.
.
Замечание:
,
то есть
.
Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.
Имеем
.
.
Возьмем
произвольную
=
=>
.
Обозначим
.
Тогда
0<
.
Т.обр.
.,
то есть
БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
Теорема:
Пусть
и
,
тогда
.
Теорема:
(Локальн. Огр.):
Пусть
,
тогда
,
:
.
.
Возьмем
Тогда
.
Теорема:
Пусть
,
и
.
Тогда
Возьмем
произвольный
,
,
,
причем
.
(по
теореме о предельном переходе в
неравенство)
.
Теорема:
Пусть
,
и
.
Тогда существует
.
Возьмем произв.
,
,
,
причем
сущ.
.
Теорема
(об отделимости от нуля): Пусть
,
:
.
Доказательство:
.
Возьмем
,
тогда
,
,
.
БИЛЕТ 14. Теорема об арифметике пределов функций.
Теорема:
Если существуют
и
,
то:
1).
.
2).
=
(
-
постоянная).
3).
*
.
4).
,
если
.
Доказательства:
Доопределив
по непрерывности функции
и
в точке
,
положив
=
и
=
(это изменение функций не влияет на их
пределы). В точке
будут непрерывны функции
,
,
,
(так как
=
.
Поэтому в силу равенства
=
получим:
1).
=
.
2).
=
=
3).
=
*
.
4).
=
.
БИЛЕТ
15.
Первый
замечательный предел.
Для
доказательства возьмем вектор
окружности радиуса 1 с центральным
углом, равным
(радиан),
и проведем
.
Тогда пл.
<
пл. сект.
<
пл.
или
.
Разделив все части этого неравенства
на
>
0, получим
или
.
Это неравенство, доказанное для любых
из интервала (0;
),
верно для любого
из
интервала (-
;
)
в силу четности функций, входящих в это
неравенство.
Докажем,
что
()
при
А
раз
и
,
то
.
Кроме
того:
=
1
БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.
.
На
первый взгляд кажется, что
при
имеет пределом единицу (так как 1+
при
имеет пределом единицу, а единица в
любой степени есть единица). Но в степень
возводится
1+
,
а не единица. И вот из-за этой бесконечно
малой добавки
предел не равен единице. Чтобы
приблизительно представить себе
поведение функции
при
малых
приведем таблицу значений этой функции:
|
1/2 |
1/3 |
1/4 |
0.01 |
0.001 |
|
2.25 |
2.37… |
2.44… |
2.7047… |
2.7169… |
Из
этой таблицы видно, что с уменьшением
функция увеличивается. Оказывается,
что это имеет место для всех
>0,
а из этого следует, что функция имеет
предел.
Доказательство:
Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:
По определению Гейне:
=
=
Вычислим
.
Рассмотрим
=
=
.
По
определению Гейне рассмотрим
.
*
То
есть
=
=
=
.
Также
=
=
=
=
1
БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
Определение:
бесконечно
малая функция при
,
если
.
Определение:
Пусть
и
-
бесконечно малые функции при
.
Тогда:
1)
и
эквивалентны при
(
~
,
),
если
.
2)
,
-
бесконечно малые одного порядка малости
при
,
если
.
3)
-
бесконечно малая более высокого порядка
малость, чем
.
(=
(
),
),
если
.
4).
имеет
-й
порядок малости относительно
при
,
если
.
5).
называется ограниченной относительно
бесконечно малой функции
при
,
если
.
Примеры:
1).
при
.
2).
(
,
-бесконечные
малости одного порядка).
3).
(
)
1 0
4).
…
(
)-
2-й порядок малости относительно
при
.
5).
-
произвольная.
БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквивалентные.
Определение:
функция
называется
бесконечно
малой
при
,
если
=0.
Теорема (критерий эквивалентности):
Пусть
,
-бесконечно
малые функции при
.
-
.
Тогда
~
при
.
Доказательства:
().
Пусть
~
,
,
то есть
.
=0,
то
есть
.
().
.,
.
=1.
Теорема (о замене на эквивалентные):
Пусть
функция
~
,
~
при
и существует
,
тогда существует и
=
.
То есть выражение или функцию можно
заменять на эквивалентное.
=
*
*
=
.
1 1
БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций.
Определение
1:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Определение
2:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
,
.
Определение
3:
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Свойства непрерывных функций:
Теорема
1 (локальная огр.): Пусть
функция
непрерывна
в точке
,
тогда
.
Теорема
2 (отделимость от 0): Пусть
функция
непрерывна
в точке
и
,
тогда
.
.
Теорема
3 (арифметика непрерывных функций):
Пусть
,
непрерывны
в точке
,
тогда:
1).
непрерывна в точке
.
2).
непрерывно в точке
.
3).
Если
,
то
непрерывно
в точке
.
БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.
Теорема:
если функция
непрерывна
в точке
,
а функция
непрерывна
в точке
то сложная функция
непрерывна в точке
.