- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Доказательство:
Докажем, что .
Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…
Получим :
1)
2)
Из этих определений получаем .
=> -подпоследовательность последовательности :
.
-непрерывна в точке => .
-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.
Замечание: Замкнутость по существу. , , но
Не является ограниченной на .
БИЛЕТ 24. Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть . Тогда
Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.
Доказательство:
По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .
(<)- верхняя граница. , то есть .
Противоречие.
Следствие: если , то .
БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (без доказательства).
Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .
Определение 3: Функция непрерывна в точке , если
.
Функция, непрерывная на отрезке.
Определение: Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .
Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке , то для любого можно указать такое , что для любых и из таких, что .
+ БОНУС
Доказательство:
Возьмем число . Построим на отрезке точки следующим образом: если точка уже построена, то рассмотрим множество , состоящее из всех точек , удовлетворяющих неравенствам: , .
Положим (см. рисунок), что:
если пусто (и на этом построение заканчивается).
если не пусто.
Заметим, что в силу непрерывности и для любого из отрезка . Последовательность может быть конечной или бесконечной. Предположим, что она бесконечна, тогда для всех . Пусть . Так как
, то функция непрерывна в точке слева, и потому можно указать такое число
, что и для любого из интервала . По определению числа можно найти в интервале . Тогда любое число из интервала принадлежит интервалу , и потому
, что противоречит тому, что . Таким образом, последовательность не может быть бесконечной, и потому существует такой номер , что . Положим: . Возьмем два любых числа
и из отрезка таких, что . Тогда возможны два случая: или обе эти точки попали на некоторый отрезок и тогда , или этого не случилось, и тогда найдется точка между и . Но в этом случае , так как и (доказывается аналогично) , а потому. Так как все приведенные рассуждения справедливы для любого , то теорема доказана.
Смысл этой теоремы состоит в том, что для всех точек отрезка можно по заданному числу подобрать общее для всех точек число (фигурирующее в определении). Для функций, непрерывных на интервале это можно сделать уже не всегда.
БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функции.
Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки .Если ее приращение можно представить в виде ,то говорят ,что f(x) дифференцируема в точке (иногда пишут -величина более высокого порядка, чем а это означает, что )
-линейная функция от .Она называется дифференциалом функции f(x) и обозначается
Пример:
Критерий дифференцируемости:
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.
Доказательство:
1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке это означает . Разделим это равенство на и перейдем к пределу ,т.е. существует , т.е. производная существует.
2.Достаточность. Пусть существует или
, т.е. f(x) дифференцируема в точке .
Итак, , т.е. .Отсюда следует новое обозначение производной и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как частное дифференциалов.
Понятие производной функции.
Определение: Производной функции в точке называется предел Очень удобна более короткая запись для этого предела и более короткое обозначение для производной .
БИЛЕТ 27. Алгебраические свойства дифференцируемых функций.
Теорема: Если функции и имеют производные, то
1) .
2) .
3) (постоянная).
4) .
Доказательство: По теореме об арифметике пределов функций, по определению производной и формулам: , и имеем:
1).
.
2).
===++
+==, так как множители и не зависят от и при являются постоянными, а , поскольку имеет производную и потому непрерывна.
3). (так как ).
4). =.
БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.