![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •8. Почленное дифференцирование функционального ряда
- •17. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье (без док-ва).
- •20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
- •21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).
- •24. Критерий квадрируемости множества.
- •Св-ва двойного интеграла
- •3 В .3.Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.
- •37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.
- •38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.
- •46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.
- •47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.
- •48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.
- •49. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.
Пусть
гладкая ограниченная поверхность.
Разбиваем
с помощью кусочно-гладких кривых наnчастей
и получаем разбиение
поверхности
.
Пусть λ – параметр разбиенияТ.
Выбираем любые точки
,
где
Обозначим
через
– площадь
.
Пусть
определена
на
,
составляем интегральную сумму:
.
Определение:Еслинезависимо от разбиенияTи выбора точек
то этот предел называется поверхностным
интегралом первого рода и обозначатся
.
Если
,
то функциюfназывают
интегрируемой по поверхности Φ.
Свойства:
1.,S– площадь поверхности
Φ
Доказательство: рассмотрим произвольное
разбиение Тповерхности Φ и выбираем,
.
Функция
=
=S=>
=S=>
.
2.Если функцияинтегрируема по поверхности
,
то для
функция
интегрируема по поверхности
и
3.Если функции,
интегрируемы по поверхности
=> функция
интегрируема по
и
4.Если функцияинтегрируема по поверхности
и
разбивается на две части
и
с
помощью кусочно-гладкой кривой, то
5.Если функции,
интегрируемы по поверхности
и
=>
6.Если функцияинтегрируема по поверхности
=>
функция
интегрируема по поверхности
и
Теорема(о среднем):Пустьнепрерывна на гладкой ограниченной
поверхности
,
то
38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.
Пусть Φ поверхность, заданная уравнением
(4),
где
-ограниченное
множество с кусочно-гладкой границей.
Теорема:Еслинепрерывно-дифф-ма
на
и функция
непрерывна
на поверхности Φ, то
Доказательство:Рассмотримразбиение
поверхности
.
Пусть
– параметр разбиенияТ. Выбираем
любые точки
,
где
,
составляем интегральную сумму:
.
Т.к.
- гладкая поверхность, задан уравнением
(4)
(5), где
-проекция
на плоскостьxy, т.к. функция
непр-дифф-ма на
=>
непр
на
=>
у интегралу в (5) применяем теорему о
среднем =>
:
,
где
площадь
.
Точки
обозначим
=
=
Обозначим
,
множество
разбиение множестваD=>
=
.
– параметр разбиения
.
Т.к.
непрерывна на поверхности Φ и
непрерывно-дифф-ма
на
=>
непрерывна на
=>
,
докажем, что
.
Фиксируем
.
Имеем
.
Функция
непрерывна
на компакте
=>
ограничена на
=>
.
Функции
,
непрерывны
на компакте
=>
равномерно непрерывны на компакте
=> для
,
т.к.
=>
,
,
,
=>
,
если
=>
Т.к. Если=>
,
то
=
чтд.
Билет №39. . Двусторонние поверхности. Примеры.
Пусть Ф – ограниченная гладкая
поверхность. Т.к. Ф –гладкая поверхность,
то в каждой точке поверхности существует
касательная плоскость. Вектором нормали
(M)
к поверхности Ф в тM.
Заметим, что если Ф- гладкая поверхность,
то в любой точке поверхности существует
вектор нормали. Т.к. Ф- гладкая поверхность,
т.е Ф задается непрерывно – дифференцируемым
отображением, то вектор – функция
(M) непрерывна на поверхности
Ф.
Например, если Ф задана параметрическими
уравнениями (1)=> гдеN(M) = [],
где
=
,
=
, причем вектор - функции
,
непрерывны
наD=> вектор – функция
(M) непрерывна на Ф. Фиксируем
произвольную точку М
Ф
( М- внутренняя точка на Ф)
Рассматриваем
замкнутый контур Г
Ф,
исходящий из точки М и не пересекающий
границу Ф
Выберем вектор нормали к Ф в точке М одного из двух направлений. Если точка, М движется по контуру Г то вектор нормали непрерывно перемещается по кривой Г. После возвращения в точку М возможна одна из 2-х ситуаций:
вектор нормали в точке М после обхода по кривой Г совпадает с первоначально выбранным вектором нормали в т. М.
вектор нормали в т. М после обхода по Г имеет противоположное первому направление.
Опр. Если дляМ
Ф и
замкнутого контура Г, описанного выше,
вектор нормали в точке М после обхода
по Г возвращается в исходное положение,
то Ф называетсядвусторонней поверхностю.
В противном случае ( если
М
Ф,
контур Г описанный выше , т. ч. Вектор
нормали в т. М после обхода по Г имеет
противоположное первоначальному
направление) поверхность Ф называетсяодносторонней.
Примеры: Плоскость, сфера ….-двусторонние поверхности
Лист Мебиуса –односторонняя
Б илет №40.. Поверхностный интеграл 2 рода и его свойства
Пусть Ф - гладкая ограниченная двусторонняя
поверхность. Фиксируем какую-либо
сторону поверхности. Обозначим через-
единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности. Пусть
-
углы, которые образуют вектор
с
осями координат =>
={cos
,cos
,cos
}
Рассмотрим любое разбиение Т={Ф}–
площадь Ф
Пусть вектор- функция
определена
на поверхности Ф.
Векторы нормали в точках Мимеют координаты:
Составим интегр. сумму:
Опр.Еслине
зависящий от разбиения Т и выбора точек
М
,то этот предел называется поверхностным
интегралом второго рода от вектор –
функции
поверхности
Ф и обозначается
Заметим что интегральную сумму
можно
переписать в виде:
Введем функцию
где {cos
,cos
,cos
}
- координаты вектора нормали =>
Если Ф–гладкая поверхность и функция
непрерывна
на Ф,=>
Если
непрерывна
на Ф и Ф -гладкая поверхность, =>
непрерывна
на Ф. Следовательно
Таким образом получаем Утв. Если Ф
- гладкая двусторонняя поверхность и
вектор –функциянепрерывна на Ф, то
Свойстваповерхностного интеграла 2 рода:
1) Поверхностный интеграл второго рода
зависит от выбора стороны поверхности,
т.е, если Фи Ф
- две стороны поверхности Ф, то
Д.Выберем любые разбиенияТ =
{Ф}Поверхности
Ф и любые точки М
Ф
Обозначимn
- единичная нормаль к Ф
.n
- единичная нормаль к Ф
.
=>
(n
-
единичная нормаль в точке М
).
ОбозначимI
интегральная сумма Ф
,I
-для Ф
.
=>
=>
=>
2) Если вектор- функция
непрерывна
на Ф, то для
к=const:
3) Если вектор- функции
m=1,2.. непрерывны на Ф, то
4) Если вектор – функция
Непрерывна на Ф и поверхность Ф разбита
с помощью кусочно–гладкой кривой на
Ф
и Ф
=>
Доказательства следуют из формул для вычисления поверхностного интеграла 2 рода и соответсвующих свойств поверхностного интеграла первого рода.
Билет №41. Поверхностный интеграл 2 рода и его вычисление.
Пусть Ф - гладкая ограниченная двусторонняя
поверхность. Фиксируем какую-либо
сторону поверхности. Обозначим через-
единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности. Пусть
-
углы, которые образуют вектор
с
осями координат =>
={cos
,cos
,cos
}
Рассмотрим любое разбиение Т={Ф}–
площадь Ф
Пусть вектор- функция
определена
на поверхности Ф.
Векторы нормали в точках Мимеют координаты:
Составим интегр. сумму:
Опр.Еслине
зависящий от разбиения Т и выбора точек
М
,то этот предел называется поверхностным
интегралом второго рода от вектор –
функции
поверхности
Ф и обозначается
Заметим что интегральную сумму
можно
переписать в виде:
Введем функцию
где {cos
,cos
,cos
}
- координаты вектора нормали =>
Если Ф–гладкая поверхность и функция
непрерывна
на Ф,=>
Если
непрерывна
на Ф и Ф -гладкая поверхность, =>
непрерывна
на Ф. Следовательно
Таким образом получаем Утв. Если Ф
- гладкая двусторонняя поверхность и
вектор –функциянепрерывна на Ф, то
Билет №42.Теорема Остроградского – Гаусса
Пусть
через
- внешнюю (по отношению к
)
сторону поверхности
.
Пусть вектор – функция
=
(x,y,z)
+
(x,y,z)
+
(x,y,z)
определена в
.
Теорема:
Если функции P,Q,R
непрерывны в
и частные производные
,
,
непрерывны в
,
то
.
(2)
Доказательство:
Интегралы
в правой и в левой части (2) существуют,
т.к
непрерывны на
и
поверхность.
Формулу (2) докажем
в частном случае, когда
–цилиндроид относительно всех
координатных плоскостей одновременно.
Докажем сначала, что если
- цилиндроид относительно плоскости
Oxy,
то
(3).
=
.
: z=
(x,y)
=> cos(
)=
-
(минус – т.к угол между нормалью и осью
Oz
- тупой)
Рассмотрим
=
=
(используем формулу
вычисления интеграла 1 рода)
: z=
(x,y),
(x,y)
=
аналогично:
=
(знак +, т.к угол между нормалью и осью
Oz
- положителен)
Рассмотрим
Т.к
- цилиндроид относительно Oxy,
а
- боковая поверхность
,
то линейная образующая
параллельна
оси z
=> нормаль к
перпендикулярно оси z
=> cos(
)=0
=>
=
=0;
______________________________________________________________________________
Рассмотрим
{
}
Таким образом
(3)
Аналогично
доказываем если
(4)
(5)
Таким образом если
.
Теорема доказана.
Билет №43,44.Скалярное поле.
Пусть
- область на плоскости или в пространстве.
Везде далее
– область – т.е связанное множество.
Говорят, что в
области
задано скалярное поле u(M),
если каждой точки M
из облсти
ставится в соответствии по некоторому
закону число u(M).
Т.е задание скалярного поля аналогично
заданию скалярной функции u(M)
точки M.
(задается функция, привязанная к точке, но не привязанная к системе координат)
Поверхностью уровня(или линией уровня в плоском случае) называют множество точек, в которых функция u(M) принимает постоянное значение u(M)=С, С=const.
Пусть в области
задано скалярное поле u(M)
и задана декартова система координат.
Градиентом
скалярного поля
u(M)
называется вектор grad
u
= { ,
,
};
это определение зависит от системы
координат.
Производная скалярного поля по направлению.
Пусть скалярное
поле u(M)
задано в области .
Фиксируем
точку М0
и
вектор
=
,
где М
.
Обозначим
длину
вектора
.
Если
,
то этот предел называется производной
поля
по
направлению вектора
в точке
и обозначается
.
Теорема.
Если u(M)
дифференцируема в точке,
то справедлива формула:
=
– единичный вектор.
Доказательство.
–
единичный вектор,
.
Пусть
,
М
=>
=
=
{
.
u
-u
={
Так как функция u(M)
дифференцируема в точке
,
то } =
+
;
=
+
=
+
=
+
=
=
теорема доказана.
Переписав
получим другое определеие градиента –
вектор, который характеризует скорость
возрастания u(M).
Билет №45.Векторное поле. Векторные линии.
Пусть - область на плоскости или в пространстве.
Везде далее
– область – т.е связанное множество.
Говорят, что в области задановекторное поле
(M),
если каждой точкиMиз
облсти
ставится в соответствии по некоторому
закону вектор
(M).
Т.е задание скалярного поля аналогично
заданию векторной функции
(M)
точкиM.
Примеры: поле скоростей, поле силы, градиент скалярного поля задает векторное поле.
Векторной линией векторного поля (M)
называется кривая, касательная к которой
в каждой точке совпадает с направлением
вектора
(M).
Пусть
(M)
– вектор
(M)=
- радиус – вектор, принадлежащий векторной
линии. =>вектор
={
,
,
}
– касательный вектор для векторной
линии. Тогда вектор {dx,dy,dz}
– также касательный вектор для касательной
линии.
Т.к касательный вектор и вектор (в
одной и той же точке) параллельны =>
(1)- где
(M)=
Уравнения (1) – дифференциальные уравнения векторных линий.