17. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье (без док-ва).

Теорема:

Пусть непр на, имеем накусочно-непр производную и. Тогда ТРФ ф-циисходится равномерно на

Некоторые частные случаи

1. Пусть нечетная функция =>– нечетная функция.;; тогда тригонометрический ряд для нечетной функции имеет вид:

2. Пусть четная функция =>нечетная функция =>

Билет 18. Непрерывность собственного интеграла, зависящего от параметра.

Пусть функции α(y) иβ(y) непрерывны на [c,d]. Рассмотрим множество={(x,y):c≤y≤d,α(y)≤x≤β(y)}

Интегралназываетсяинтегралом, зависящим от параметра, гдеy– параметр. Будем предполагать, что функцияf(x,y) интегрируема по перемxна [α(y),β(y)] дляфиксирy[c,d].

Обозначим:(1)y[c,d].

В частном случае α(y)=a, β(y)=by[c,d] интеграл (1) имеет вид,y[c,d] (2).

Теорема:

Пусть функция f(x,y) непрерывна в, пустьα(y) иβ(y) непрерывна на [c,d].Тогданепрерывна на [c,d].

Доказательство:

Функция f(x,y) непрерывна по совокупности переменных наf(x,y) непрерывна по неремxна [α(y),β(y)] дляфиксирy[c,d] f(x,y) интегрируема на [α(y),β(y)]фиксирy[c,d].Докажем, чтонепрерывна вy₀[c,d].Имеем=

=(обозначим)=. Т.к.f(x,y) непрерывна в,α(y) иβ(y) непрерывны на [c,d]g(t,y) непрерывна наg(t,y) непрерывна на компактеg(t,y) равномерно непрерывна на множестве.

Фиксируем ε>0. Для

(для точек (y₀+h)[c,d])

, еслинепрерывна в тy₀. Т.к.y₀-точка из [c,d]непрерывна на [c,d].▲

Замечание:при условиях теоремы справедлива формула:

(3)y₀[c,d].

Действительно т.к. непрерывна на [c,d]непрерывна вy₀[c,d],,

Т.к. α(y), β(y) непрерывны на [c,d]непрерывны в тy₀ ,

Функция f(x,y) непрерывна наf(x,y) непрерывна поyна [c,d]f(x,y) непрерывна поyв тy₀ , те формула (3) доказана.

В частности формула (3) для интеграла (2) имеет вид: (4)

Билет 19 Дифференцирование собственного интеграла, зависящего от параметра.

Теорема:

Пусть f(x,y) непрерывна вина, причемнепрерывна на. Пусть. Тогда’(y) =+f((y),y)*’(y) –f((y),y)*’(y)y[c,d]

Док-во:

Так как непрерывна на=>фиксированногоy[c,d]. Докажем, чтоy₀[c,d]’(y₀).

Имеем:

(y)==₁(y) +₂(y) -₃(y).

Рассмотрим ₁(y) и докажем, что₁‘(y₀).

.

Так как на=> функцияf(x,y) как функция одной переменнойy(при фиксированныхx) дифференцируема на [c,d] => можно применить теорему Лагранжа к функцииf(x,y) как функции переменнойyна [y₀,y] (или [y,y₀]):

, гдележит междуyиy₀=>

{непрерывна на=> в силу (4)}=.

непрерывна по переменнойyв точкеy₀=>, так какеслиyy₀.

Рассмотрим функцию ₂(y) и докажем, что₂‘(y₀):

₂(y) =.

Так как f(x,y) непрерывна на=>f(x,y) непрерывна по переменнойxна [(y₀),(y)]=>

Применяем теорему о среднем для интеграла:

, гдележит между(y₀) и(y).

Так как ’(y) на [c,d] =>, так как’(y) на [c,d]

=> =’(y₀), так какf(x,y) непрерывна на=>

, еслиyy₀ =>(y)(y₀)=>x(y₀).

Следовательно ₂‘(y₀)=f((y₀),y₀)*’(y₀).

Аналогично, ₃‘(y₀)=f((y₀),y₀)*(y₀).

Таким образом ’(y₀)=₁’(y) +₂’(y) -₃’(y).