![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •8. Почленное дифференцирование функционального ряда
- •17. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье (без док-ва).
- •20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
- •21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).
- •24. Критерий квадрируемости множества.
- •Св-ва двойного интеграла
- •3 В .3.Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.
- •37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.
- •38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.
- •46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.
- •47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.
- •48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.
- •49. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
Рассм. интеграл (1) ,yєY,a<b<+
,
где для
фиксир.
интеграл (1) несобств.
Тогда интеграл (1) наз. несобств. инт-лом,
зависящим от параметра, -
параметр. Далее рассм. несобств. инт-л,
зависящ от параметра вида (2)
,
зависящий от параметраyєYНесобств. инт-лы (1), гдеb– конеч. число, рассм-ся анал-но.
Предположим, что для фиксир
ф-я
интегрируема на
конечном промежутке
Опр. Инт-л (2) сх-ся на мн-ве У, если для
фиксир.
интеграл
сх-ся, т.е. для
фиксир.
(обозн)
Другими словами
Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Опр. Инт-л (2) сх-ся равномерно на мн-ве
У, если
Замечание. Если инт-л (2) сх-ся равномерно на У, то он сх-ся на У. Обратное неверно.
Т. (Критерий Коши равномер. сх-сти)
Инт-л (2) сх-ся равном на S
Для доказательства критерия Коши необх. рассм. единство функций
Ф (и док-ся Крит.Коши равном сх-ти сем-ва
ф-ий,из кот след.крит.Коши равном сх-ти
несобств.инт-лов.
Теорема.(Критерий Коши для ФП)
Функциональная последовательность
сходится равномерно на Е
Доказательство
=>
{Сходится равномерно на Е =
функция
,определена на Е, т.ч.
на Е
Фиксируем
Для
=>
=
<=
для
фиксированного
для числовой последовательности{
выполнен Критерий Коши => для
фиксированного
числовая последовательность{
сходится к некоторому числу =>
функциональная последовательность{
сходится к некоторой функции
на множестве Е. Докажем что функц.
Последовательность
на Е
Имеем по условию: (1*)
Т.к
Для Переходим в неравенство(1*)к
=>
=> ФП
на Е.
Док-во крит Коши для ед-ва ф-й полностью анал-но док-ву крит Коши для ф-й послед-сти.
Т. (признак Вейерштрасса)
Пусть неотриц ф-я
т.ч.
сх-ся и
,
є
, +
Тогда
сх-ся равномерно на У.
Д.1) Д-м, чтосх-ся на У.
т.к. є
, +
и
сх-ся, то призн сравнения для
фикс
сх-ся инт-л
сх-ся
(абсол)
для У
(3)
Т.к. ф-и (для фикс у) и
инт-мы на
[a,η]⊂[a,+
],
то
η
инт-лы
,
,
сх-ся (для
фикс.y
Y)
и справедливы нер-ва
y
Y(4).
2)Д-м,что
сх-ся равномерно неY.
имеем
сх-ся
равномерно наY. Имеем
сх-ся
η0
η> η0
<
.
Из (4)получ., что
y
Y
<
η> η0
η0
η> η0
y
Y
сх-ся равномерно наY.
21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Т.Пустьнепрерывна (по совокупности переменных)
на
х
(декартово произведение) и интеграл
сходится равномерно на
, тогда ф-ция
Ф(у)=непрерывна на
Д.Рассмотрим посл-сть точек
,
такую что
Рассмотрим функц. ряд
Докажем, что ряд (5) сходится на .
Рассмотрим частную сумму ряда:
Т.к. сходится равномерно на
,
Последовательность
ряд сумма
Докажем, что ф-ция
непрерывна на
nф-ияUn(y)=
- собств. инт-л , зависящий от парам-ра.
Т.к. f(x,y)
непрер. на мн-вех
f(x,y)
неперер.на
х
n
по теор. о непрер-ти собств. инт-ла,
зависящего от параметра, все ф-ииUn(y)
непрер. на [c,d]Докажем,
что
сх-ся
равномерно на [c,d].
Т.к сх-ся равномерно на [c,d]
>0
:
η>η0
[c,d]
|
<
Т.к. функц.ряд сх-ся
на [c,d]
сх-ся
на [c,d]
,
причем
=
.
Т.к