3 В .3.Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.

А

Аn-1

А1

А2

Пусть Г - кусочно-гладкая ориентированная кривая.

Кривую Г делим на nчастей с помощью с помощью точек А₁…А_n-1

Обозн. А₀=А, А_n=В; ∆l_i– длину дуги. Пусть λ=– параметр разбиения Т={А_i}ⁿ_i=0

Пусть А_i(x_i,y_i,z_i). Обозн. ∆x_i=x_i-x_i-1, ∆y_i=y_i-y_i-1, ∆z_i=z_i-z_i-1. Выберем любые точки М_i є.

Пусть вектор-функция (x,y,z)= (x,y,z)+ (x,y,z)+(x,y,z) определена на Г.

Составим интегральную сумму σ_т()=

Опр. Если сущ., не зависящий от разбиения Т и выбора точек М_i, то этот предел наз-ся криволинейным интегралом 2ого рода от функциивдоль кривой Г и обозн.

Свойства: Пусть Г=- кусочно-гладкая ориентированная кривая.

1).Криволинейный интеграл 2ого рода меняет знак при изменении ориентации кривой, т.е.=-.

Док-во.Рассм. любое разбиение Т={А_i}ⁿ_i=0кривойи выбираем любые точки М_i є, координаты А_i(x_i,y_i,z_i)∆x_i=x_i-x_i-1, ∆y_i=y_i-y_i-1, ∆z_i=z_i-z_i-1интегр. сумма для кривой:σ_т()=. Для кривой:x_i=x_i-1-x_i,y_i=y_i-1-y_i,z_i=z_i-1-z_ix_i= - ∆x_i ,y_i= - ∆y_i,z_i= - ∆z_i. Обозн.() – интегр. сумма для кривой .

()== -=

= - σ_т()=.= -

2).Пусть ф-я=P+Q+R непрерывна на Г для любогоk=k

3).Пусть ф-ии= P₁+Q₁+R₁ , = P₂+Q₂+R₂ непрерывны на Г. Тогда .

4). Пусть ф-я =P+Q+R непрерывна на , и т.Сє. Тогда=+. Док-во свойств 2)-4) аналогично доказательству этих свойств для определенного интеграла.

Билет №35.Формула Грина.

Пусть D– ограниченное множество на плоскостиOxyс кусочно-гладкой границей Г. Контур Г называется положительно (отрицательно) ориентированным, если при движении по Г областьрасположена слева (справа) от Г.

Теорема.Если функцииP(x,y),Q(x,y) непрерывны наи частные производныеинепрерывны на, тогда(1)

Формула (1) – формула Грина

Док-во.Теорему докажем в частном случае областиDтак, чтоDможно разбить на конечное число областей, каждая из которых является криволинейной трапецией относительно Ох и Оу одновременно. В силу условий теоремы, интегралы в формуле (1) существуют

I. Пусть, сначала,Dявляется криволинейной трапецией относительноOxиOyодновременно. 1)Докажем, что еслиD– трапеция относительно Ох, =>,D={(x,y):a≤x≤b, φ(x)≤y≤ψ(x)}={D– трапеция относительно Ох}={непрерывна на=>непрерывна поyна [φ(x),ψ(x)] дляфиксир.x[a,b]=>по формуле Ньютона-Лейбница}=. Рассмотрим.:{x=b,y=t, φ(b)≤t≤ψ(b)}, =>=. Аналогично=0. Таким образом==2) Аналогично получаем, что еслиD– криволинейная трапеция относительноOy=>. Таким образом, еслиD– криволинейная трапеция относительно осиOxиOyодновременно =>оба равенства из 1) и 2) верны =>

II. ПустьDможно разбить на конечное число областейD_i, т.ч.- криволинейная трапеция относительноOxиOyодновременно== {из теоремы}=={Г_i=- часть границыD_iлежащая внутриD}===

Билет №36.Площадь поверхности.

Пусть сначала поверхность Φ задана уравнением z=f(x,y),,D– ограниченное множество на плоскостиOxyс кусочно-гладкой границей. Предполагаем, что функция. Разбиваем областьDнаnчастейD_iс помощью кусочно-гладких кривых, так что , => - разбиение областиD. Пусть λ – параметр разбиения τ. Выбираемточку , , =>Φ, Строим касательную плоскость π_iк поверхности Φ в точкеM_i. На границе областиD_iстроим цилиндрические поверхности с образующей, параллельно осиOz. Эта цилиндрическая поверхность вырезает из плоскости π_iкусок, который обозначимL_i.

Обозначим S(L_i) – площадь множестваL_i.

Опр.Если, независящий от разбиения τ и выбора точек, то этот предел называется площадью поверхности Φ.

Теорема.Если функцияf(x,y) непрерывно дифференцируема на, то площадь поверхности

Док-во.РассмотримразбиениемножестваD_i, выбираемточки,и строим множестваL_iтак как указано выше =>D_iявляется проекцией множестваL_iна плоскостьOxy=>,- нормаль к π_i в точкеM_i=>,с положительным направлением осиOx.

=>,=>={Обозначим}=. Т.к.f– непрерывно дифференцируема на=>=>=>=. Пусть теперь пов-ть Φ задается параметрически:(3).D– ограничительное множество на плоскости переменныхU,Vс кусочно-гладкой границей. Разбиваем Φ с помощью кусочно-гладких кривых наnчастей Φ_iт.ч.различные множества Φ_i, Φ_j () пересекаются только по части своих границ, =>- разбиение поверхности Ф. Обозначимd_i– диаметр Ф_i=>называется параметром разбиения Т. На каждом куске Ф_i, выбираемточкуM_i.

Предположим что поверхность Φ – гладкая, т.е.:

1) функции x(U,V),y(U,V),z(U,V) непрерывно-дифференцируемы на ;

2) Отображение (3) – взаимно однозначное;

3)ранг матрицы равен 2В каждой точкеM_iстроим касательную плоскость π_iк поверхности Ф. Обозначим черезL_iпроекциюна плоскость π_i,

Опр.Если, не зависящий от разбиения Т и выбора точекM_i, то этот предел называется площадью поверхности Ф.

Теорема.Если Ф – гладкая ограниченная поверхность, заданная формулами (3), то её площадь вычисляется по формуле:, где,,