20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Рассм. интеграл (1) ,yєY,a<b<+, где дляфиксир.

интеграл (1) несобств.

Тогда интеграл (1) наз. несобств. инт-лом, зависящим от параметра, - параметр. Далее рассм. несобств. инт-л, зависящ от параметра вида (2), зависящий от параметраyєYНесобств. инт-лы (1), гдеb– конеч. число, рассм-ся анал-но.

Предположим, что для фиксирф-яинтегрируема наконечном промежутке

Опр. Инт-л (2) сх-ся на мн-ве У, если для фиксир.интегралсх-ся, т.е. для

фиксир.(обозн)

Другими словами

Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Опр. Инт-л (2) сх-ся равномерно на мн-ве У, если

Замечание. Если инт-л (2) сх-ся равномерно на У, то он сх-ся на У. Обратное неверно.

Т. (Критерий Коши равномер. сх-сти)

Инт-л (2) сх-ся равном на S

Для доказательства критерия Коши необх. рассм. единство функций

Ф (и док-ся Крит.Коши равном сх-ти сем-ва ф-ий,из кот след.крит.Коши равном сх-ти несобств.инт-лов.

Теорема.(Критерий Коши для ФП)

Функциональная последовательность

сходится равномерно на Е

Доказательство

=>

{Сходится равномерно на Е =функция,определена на Е, т.ч.на Е Фиксируем

Для

=>

=

<=

дляфиксированногодля числовой последовательности{выполнен Критерий Коши => дляфиксированногочисловая последовательность{сходится к некоторому числу => функциональная последовательность{сходится к некоторой функции на множестве Е. Докажем что функц. Последовательностьна Е

Имеем по условию: (1*)

Т.к

Для Переходим в неравенство(1*)к=>

=> ФПна Е.

Док-во крит Коши для ед-ва ф-й полностью анал-но док-ву крит Коши для ф-й послед-сти.

Т. (признак Вейерштрасса)

Пусть неотриц ф-ят.ч.

сх-ся и,

є, +Тогдасх-ся равномерно на У.

Д.1) Д-м, чтосх-ся на У.

т.к. є, +и

сх-ся, то призн сравнения дляфикссх-ся инт-л

сх-ся (абсол)

для У

(3)

Т.к. ф-и (для фикс у) иинт-мы на[a,η]⊂[a,+], тоηинт-лы,,сх-ся (дляфикс.yY) и справедливы нер-ваyY(4). 2)Д-м,чтосх-ся равномерно неY. имеемсх-ся равномерно наY. Имеемсх-сяη₀η> η₀<. Из (4)получ., чтоyY<η> η₀η₀η> η₀yYсх-ся равномерно наY.

21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Т.Пустьнепрерывна (по совокупности переменных) нах(декартово произведение) и интегралсходится равномерно на, тогда ф-ция

Ф(у)=непрерывна на

Д.Рассмотрим посл-сть точек, такую что

Рассмотрим функц. ряд

Докажем, что ряд (5) сходится на .

Рассмотрим частную сумму ряда:

Т.к. сходится равномерно на,

Последовательность

ряд суммаДокажем, что ф-циянепрерывна наnф-ияU_n(y)=- собств. инт-л , зависящий от парам-ра.

Т.к. f(x,y) непрер. на мн-вехf(x,y) неперер.нахnпо теор. о непрер-ти собств. инт-ла, зависящего от параметра, все ф-ииU_n(y) непрер. на [c,d]Докажем, чтосх-ся равномерно на [c,d].

Т.к сх-ся равномерно на [c,d]>0:η>η₀[c,d] |<

Т.к. функц.ряд сх-ся на [c,d]сх-сяна [c,d], причем=.

Т.к