Билет 1. Функциональная последовательность (ФП). Область сходимости. Примеры.

Определение 1.

Если каждому натуральному числу nставится в соответствие по некоторому закону функция, определенная на множестве, то говорят, что на множестве Х задана функциональная последовательность

Множество Х называется областью определения последовательности

Пример.

Область определения последовательности . Пусть

Определение2.

Функциональная последовательность сходится в точке, если числовая последовательностьсходится.

Множество всех точек , в которых функциональная последовательностьсходится, называется областью сходимости функциональной последовательности.

Пример.

Область сходимости последовательности.

Пусть D– область сходимости последовательности.//обозначение предельного значения//

Совокупность всех предельных значений являейтся функцией, определенной наD. Эта функцияназывается предельной функцией последовательности.

Пример.

Замечание.

Поточечная сходимость ФП на множестве Dне гарантирует сохранение свойств членов последовательности (например свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Пример

- область сходимостинепрерывна наD

Предельная функция Функцияне является непрерывной наDт.к. имеет разрыв в точке х=1.

Билет 2. Функциональный ряд (ФР). Область сходимости. Абсолютная сходимость ФР.

Пусть дана функциональная последовательность Определенная на множествеX.

Определение1

Формально написанную сумму

Будем называть функциональным рядом.

Множество Х называется областью определения ряда.

Сумма nпервых членов ряданазываетсяn– ной частичной суммой ряда.

Заметим что является ФП, определенной на Х.

Пусть точка

Определение 2.1

Функциональный ряд сходится в т.если числовой рядсходится.

Множество Dточекв которых ФР сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение2.2

Функциональный ряд сходится на множествеD, если ФПего частичной суммы сходится наD.

Если ФР сходится на D, то его сумма есть функцияS(x)Определенная наD.

Очевидно S(x) Есть предельная функция последовательностичастичных сумм ряда.

Замечание

Поточечная сходимость ряда на множестве Dне гарантирует сохранение свойств членов ряда для суммы раяда (напремер свойство непрерывности)

Определение 3.

ФР сходится абсолютно на множествеD, если ФРСходится на множестве

Утверждение 1.

Если ФР сходится абсолютно на множествето он сходится на

Доказательство.

Ряд сходится абсолютно на=> рядСходится на=>числовой ряд

Сходится => числовой ряд сходиться абсолютно => числовой рядсходится (в обычном смысле).

Т.к - любая точка изФРсходится на множестве

Билет 3. Равномерная сходимость ФР, ФП. Критерий Коши (для ФП).

Дана ФП определенная на множестве Х.

Определение.

Последовательность сходится равномерно на множестве Е⊂ Х, если

Определение.

Последовательность сходится равномерно на Е, еслифункция, такая чтосходится равномерно к, на множестве Е

на Е

Определение 1.

Функциональный ряд сходится равномерно к функцииS(x) на множествеЕсли последовательность частичных суммсходится равномерно к функциина множестве Е.

Предположим что последовательность

,….,сходится на множествек функции

Теорема.(Критерий Коши для ФП)

Функциональная последовательность

сходится равномерно на Е

Доказательство

=>

{Сходится равномерно на Е =функция,определена на Е, т.ч.на Е Фиксируем

Для

=>

=

<=

дляфиксированногодля числовой последовательности{выполнен Критерий Коши => дляфиксированногочисловая последовательность{сходится к некоторому числу => функциональная последовательность{сходится к некоторой функции на множестве Е. Докажем что функц. Последовательностьна Е

Имеем по условию: (1*)

Т.к

Для Переходим в неравенство(1*)к=>

=> ФПна Е

Билет 4. Равномерная сходимость ФР. Критерий Коши (для ФР). Необходимое условие равномерной сходимости ряда.

Пусть ФР определена на Х;–n-ая частичная сумма ряда

Определение 1.

Функциональный ряд сходится равномерно к функцииS(x) на множествеЕсли последовательность частичных суммсходится равномерно к функциина множестве Е.

Теорема (Критерий Коши для ФР).

ФР сходится равномерно на Е

Доказательство.

ФР сходится равномерно на Е ФП частичных суммсходится равномерно на Е



Таким образом

Теорема(необходимое условие сходимости ряда)

Если ФР сходится равномерно на Е, тогда ФПна Е

Доказательство.

ФР сходится равномерно на Е => (По Критерию Коши). В частности приp=1 имеем=> ФПна Е

Билет 5. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ФР.

Теорема (Признак Вейерштрасса).

Пусть дан ФР на множестве Еи пусть существует сходящийся числовой ряд такой что,n=1,2…. Тогда ФР сходится равномерно и абсолютно на множестве Е. В этом случае числовой ряд называется мажорирующим рядом для ФР.

Доказательство.

1) Докажем , что ФР сходится абсолютно на Е

Имеем любой фиксированный :n=1,2…. => для любого фиксированногочисловой рядсходится по признаку сравнения т.к.сходится => ФРсходится на множестве Е =>

ФР сходится абсолютно на множестве Е.

Кроме того, ФР Сходится равномерно к функциина множестве Е.

2) Докажем что ФР сходится равномерно к функцииS(x) на множествеE,

Обозначим ,

,Для. Числовой рядсходится =>=>

=> => ФРсходится равномерно на множестве Е

Кроме того ФР сходится к некоторой к функцииS(x) На множестве Е.

Билет 6. Свойства равномерно сходящихся ФП и рядов: непрерывность.

Теорема.

Пусть ФП Определена ви пусть выполнены свойства.

1) Все члены последовательности непрерывны в точке

2) ФП сходится равномерно квтогда функцияопределенна в точке

Тогда функция непрерывна в точке.

Замечание :

Из доказательства теоремы будет видно, что справедливо утверждение.

Утверждение.

Пусть ФП Сходится равномерно кна <а,b> и все члены последовательностинепрерывны на <а,b> тогданепрерывна на <а,b>.

Доказательство.(Теоремы о непрерывности).

в. Фиксируем. Для=>

в частн. если

Фиксир. соотв.непр. В т.=> для

Рассм. <+

Где n– зафиксирован. Если=> функциянепрерывна в т.

Теорема

Пусть ФР сходится равномерно ви все члены ряданепрерывны в т.Тогда сумма ряданепрерывна в т.

Доказательство.

Ряд сходится равномерно в=> последовательность частичных суммв

Т.к. все функции непрерывны в т.Все частичные суммынепрерывны в т.Следовательнонепрерыв. В . .

Билет 7. Почленное интегрирование функционального ряда

Пусть функциональный ряд сходится равномерно на [a,b] к функцииS(x), все члены ряда непрерывны на [a,b], тогда₀,x[a,b] справедливо;(*)

Формула (*) можно переписать в виде

Доказательство.

Так как функция непрерывна на [a,b] => интегрируема на [a,b] и на любом₀,x][a,b] . Функциональный рядсходится равномерно на [a,b] к функцииS(x) и все члены ряда непрерывны на [a,b] => сумма рядаS(x) непрерывна на [a,b] => интегрируема на₀,x][a,b]. Нужно доказать, что рядсходится к функцииx[a,b]. Рассмотрим-={^{по свойству линейности}_{опр. интегралов}}=

-={^{по свойству линейности}}=-=-

Фиксируем . Рядсходится равномерно на [a,b] =>

для >0, .;

=, то есть .=> => ряд сходится к функции , ▲.

8. Почленное дифференцирование функционального ряда

Теорема:

Пусть функциональный ряд определен наи выполнены условия:

1. Ряд сходится по крайней мере в точке

2. Все члены ряда непрерывно дифференцируемы на

3. Ряд сходится равномерно на

Тогда функц ряд сходится на, его суммаS(x) непр. дифф-ма наиS(x) = (*)

Формулу (*) можно записать в виде =

Доказательство:

Обозначим . Ф-циинепр наисходится равномерно на=>G(x) непр на. По теореме о почленном интегрировании для (по формуле Ньютона-Лейбница)=> рядсходится . Т.к. функциональный рядсх-ся в т.с=> сх-ся числ ряд=> для сх-ся ряд=>сх-ся => ==>

G(x) непр на=> =>и . Кроме того ф-яG(x) непр на=> непр на=>S(x) непр дифф-ма на.▲

Билет №9 Степенной ряд. Теорема Абеля.

Функциональный ряд вида:

С₀+С₁(x-x₀)+C₂(x-x₀)²+…+C_n(x-x₀)ⁿ+…=

где x₀ и С₀ , С₁… C_n– заданные числа, называетсястепенным рядом

Степенной ряд сходится в точке х= x₀

Задача – исследовать степенной ряд на сходимость в х

С помощью замены t= х- x₀данный степенной ряд можно привести к виду

С₀+С₁t+C₂t²+…+C_ntⁿ…

Поэтому далее рассматриваем степенной ряд:

С₀+С₁t+C₂t²+…+C_ntⁿ+…=

Теорема(Абеля):

Пусть степенной ряд сходится в точке x₁0. Тогда ряд сходитсях: |x|<| x₁|

Док-во

Ряд сх-ся в точке x₁=>числовой рядсх-ся => числовая последовательностьсх-ся (к нулю) => посл-ть- ограничена, т.е.М:nРассмотримх: |x|<| x₁| Обозначим

Рассмотрим :

Т.к. 0<q<1 =>сх-ся=>числовой ряд (для фиксированных х)сх-ся по признаку сравнения. Т.к. х – произвольная точка, т.ч. |x|<| x₁| Функциональный рядсх-ся на множестве |x|<| x₁| =>сх-ся абсолютно на множестве |x|<| x₁|▲.

Следствие:

Если степенной ряд расходится в точке x₂ , то этот ряд расходитсях: |x|>| x₂|

Док-во:

От противного: Пусть x₃ : | x₃|>| x₂| и ряд сх-ся в точке x₃ => по теореме Абеля ряд сх-ся в точке x₂ – противоречие, т.к. в x₂ ряд расходится=>ряд расходитсях: |x|>| x₂|▲.

Билет №10 Радиус сходимости степенного ряда (теорема о существовании радиуса). Формула Коши – Адамара (без док-ва).

Определение:

Если R – неотрицательное число или , обладает тем свойством, что степенной рядсходится на множестве |x|>R, то R называется радиусом сходимости данного степенного ряда. В этом случае интервал (-R;R) называется интервалом сходимости этого степенного ряда. Область сходимости степенного ряда может не совпадать с интервалом сходимости, т.к. может включать точки

Теорема:

У всякого степенного ряда есть радиус сходимости

Док-во:

Пусть А – множество всех неотрицательных чисел, в которых степенной ряд сходится. Т.к. ряд сходится в т. х=0 =>=>supА (возможно равная)

Обозначим R=supA Докажем, что R – радиус сходимости степенного ряда:

Фиксируем x: |x|<R => по опр. supчисло: |x|<c<R

Т.к. => ряд сходится в точке с => по теореме Абеля ряд сходится на множестве |x|<c, в частности, сходится в точке x, т.к. х – произвольная точка такая что |x|<R => ряд сходится на множестве |x|<R

Фиксируем x: |x|>R =>число b: |x|>b>R Т.к. b>R => bA, т.е. степенной ряд расходится в точке b => ряд расходится в точке х (по следствию из теоремы Абеля) Т.к. х – произвольная точка такая что |x|>R => ряд расходится на множестве |x|>R

Следовательно R=supA – радиус сходимости степенного ряда



Вопрос:как найти радиус сходимости степ. ряда?

Предположим, что конечный или бесконечный

Возможны 3 случая:

1) конечныйОбозначим

Применим к ряду признак Даламбера:

при<1 – ряд сх-ся => исходный рядсх-ся(абсолютно) на мн-ве |x|<R

Если>1 – не выполнен необходимый признак сх-ти ряда => ряд рас-ся на множестве |x|>R => R=- радиус сх-ти степенного ряда в случае 1)

2) =0 Еслиn, то посл-ть {} – бескон. большая, т.е.=Рассмотрим:

если х0 => если х0, то не выполнен необходимый признак сх-ти ряда => ряд рас-сяx0 =>радиус сх-ти R=0 в случае 2)

3) ==>посл-ть {} – б.б. => посл-ть {} – б.м.=>=>х => по признаку Даламбера ряд сх-ся(абсолютно)х =>R==в случае 3)

Т.О. если =>радиус сх-ти степенного ряда R=

Анал-но доказывается, что если (конечный или бесконечный) то радиус сх-ти степенного ряда R=1/где полагаем что R=0 прии R=при

В общем случае справедлива формула Коши-Адамара:

Билет 11. Равномерная сходимость степенных рядов. Непрерывность суммы степенного ряда.

Теорема

Если степенной ряд *имеет радиус сходимостиR>0, то данный ряд сходится равномерно на любом отрезке [-r;r], где 0<r<R.

Доказательство:

Рассмотрим r: 0<r<R=>r(-R;R) => в точкеx=rстепенной ряд сходится абсолютно, т.е. числовой ряд*. Справедливо неравенство

=*,[-r;r] => так как числовой ряд*сходится, то по признаку Вейерштрасса данный степенной ряд сходится равномерно на [-r;r]

Замечание:

Из теоремы не следует, что ряд сходится равномерно на (-R;R), гдеR– радиус сходимости.

Пример:

Ряд 1) сходится равномерно на[-r;r],r<1; 2) не сходится равномерно на (-1, 1) .

Теорема(непрерывность суммы)

Если степенной ряд *имеет радиус сходимостиR>0, то сумма рядаS(x) непрерывна на (-R; R)

Доказательство:

Нужно доказать, S(x) непрерывна в(-R;R). Фиксируемx(-R;R) =>=> из теоремы 1 следует, что данный ряд сходится равномерно на [-r;r]. Кроме того, все члены ряда (*– непрерывны на [-r;r]. => по теореме о непрерывности равномерного сходящегося функционального ряда получаем, чтоS(x) непрерывна на [-r;r] =>S(x) непрерывна в точкеx, так какx[-r;r]

Билет №12. Интегрирование степенных рядов.

Пусть степенной ряд имеет радиус сходимостиR>0. Тогдаx(-R,R)

=(1) причем радиус сходимости степенного ряда в правой части (1) также равенR.

Доказательство:

Фиксируем x(-R,R) =>: |x| <R=> рядсходится равномерно наx[-r,r]

и все члены ряда непрерывные на [-r,r] функции. Следовательно, по теореме о почленом интегрировании функционального ряда имеем:

==Пусть– радиус сходимости ряда=>;= ==так как

R = =>

Билет 13. Дифференцирование степенных рядов.

Теорема :

Пусть степенной ряд имеет радиус сходимости R>0. Тогда дляx(-R;R):

()’ =(*),

причем радиус сходимости ряда в правой части (*) равен R.

Док-во:

Пусть R₁- радиус сходимости ряда в правой части (*) =>R₁=

=>R₁=R

Фиксируем x(-R;R).

Тогда r>0:

|x|<r<R => [-r;r][-R;R] => ряд сходится равномерно на [-r;r];

Все функции непрерывно дифференцируемы на [-r;r];

Исходный ряд сходится на [-r;r] => по теореме о почленном дифференцировании функционального ряда (на всем отрезке [-r;r]):

()’ ==. Так какточкаx[-r;r]=> в точкеx

=

Билет 14. Ряд Тейлора. Условия разложения функции в ряд Тейлора.

Определение.

Пусть f(x) имеет в точкеx₀ производные любого порядка. Составим формально ряд:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f(x) с центром в точкеx₀.

Если x₀ =0, то ряд Тейлора называют рядом Макларена.

Вопрос: При каких условиях на функцию f(x) ряд сходится к функцииf(x)?

Пусть f(x) имеет производные любого порядка вU(x₀). Тогдаf(x) можно разложить по формуле Тейлора вU(x₀), то есть:

=;xU(x₀), гдеR_n(x) – остаточный член формулы Тейлора (но не остаток ряда!!)

=n-ая частичная сумма ряда Тейлора

=> f(x)=S_n(x)+ R_n (x); xU(x₀)

Ряд Тейлора сходится к функции f(x) <=>,xU(x₀) <=>

,xU(x₀);

Таким образом ряд Тейлора функции f(x) сходится к функцииf(x) вU(x₀) <=>

Для остаточного члена формулы Тейлора справедливо:

;xU(x₀);

Если ряд Тейлора функции f(x) сходится к функцииf(x) вU(x₀), то

,

то есть R_n(x)=r_n(x).

Действительно:

;

Cдругой стороны:f(x)=S_n(x)+R_n(x)

=> R_n(x)=r_n(x)

Теорема: (достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора)

Пусть функция f(x) имеет вU_(x₀) производные любого порядка, причем все производныеf⁽ⁿ⁾(x) ограничены в совокупности вU_(x₀), то естьM>0n=0,1,2,…xU_(x₀)

| f⁽ⁿ⁾(x₀) |M

Тогда f(x) можно разложить в ряд Тейлора вU_(x₀):

; x U_(x₀);

Это значит, что ряд Тейлора сходится к функции f(x).

Док-во:

Достаточно доказать, что остаточный член формулы Тейлора ,xU_(x₀);

Так как функция f(x) имеет производные любого порядка вU_(x₀), тоf(x) можно записать по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то есть:

, гдележит междуxиx₀.

| R_n (x)|=; x U_(x₀);

Расмотрим числовой ряд: ;

По признаку Даламбера числовой ряд сходится, т.к. :

Тогда выполнен необходимый признак сходимости ряда:

; Тогда:,xU_(x₀)

Билет 15. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

2.

=> аналогично получаем разложение для

3.

. Фиксируем для,n=0,1…=>в частности справедливо в точкеx, т.к х произвольная точка из R =>

4. .

Записываем остаточный член формулы Тейлора функции в форме Коши, можно доказать, что

В частности ,

5.

ряд Тейлора для функции

Радиус сходимости :

В точке х=-1 получаем числовой ряд:

Докажем что остаточный член формулы Тейлора

Пусть Запишем остаточный член в форме Лангранжа

Аналогично, записывая в форме Коши, можно доказать, что

Таким образом,

Билет 16. Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле.

В пространстве кусочно-непрерывных на функций рассмотрим тригонометрическую систему функций:

Эта система является ортогональной нат.к.

Коэффициенты тригонометрического рядя Фурье

[ – формально ряд Фурье- коэффициент ]

// скалярное произведение //

(1,1)==

Формальный ряд

Теорема Дирихле.

Пусть -периодическая функция, кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная на. Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится везде напричем для его суммысправедливы равенства: 1)Если

2)

3)

Определение.

называется кусочно-монотонной наеслиможно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

Определение.

Функция называется кусочно-непрерывной на если она непрерывна наза исключением конечного числа точек разрыва 1-ого рода.