1.8.2Представления
Группы могут быть различной природы. Так следующие объекты образуют группы : геометрические элементы группы Оh; перестановки и инверсии в символьной записи 123; матрицы 3х3. Все эти группы изоморфны друг другу, имеют одинаковое число элементов и взаимно однозначное соответствие между элементами и их произведениями.
Тогда группа матриц, изоморфная геометрической группе является представлением группы на определённом базисе.
Матрицы 3×3 строились на координатном базисе: x, y, z и они образуют трёхмерное представление группы Оh (Г4) и во второй строке таблицы цифрами показаны характеры матриц этого представления.
Если мы возьмём среднее значение из суммы квадратов следов матриц для всех элементов группы, то получим 1.
.
Если рассматривать это представление как вектор, то он нормирован на единицу в 24-мерном пространстве элементов группы. Другие представления также могут образовывать вектора в этом пространстве. Помимо одинаковой нормировки эти вектора должны быть ортогональны, т.е. сумма произведений следов матриц должна равна нулю:
(1.0)
.
Пользуясь ( 1 .0) можно построить другое трёхмерное представление Г5 (третья строка таблицы). Для этого можно изменить знаки в 3 и 4-ом столбце: нормировка останется такая же, а изменение знака выполнит равенство ( 1 .0).
Если в качестве базиса выбрать постоянную величину , то для всех элементов будет единичная матрица Г1. Возможны ещё два представления : одномерное Г2 и двумерное Г3. Это единственная система нормированных и ортогональных представлений.
1.8.3Разложение не нормированных представлений на нормированные
Можно получать на другом базисе другие представления, однако нормировка для этих представлений не будет равна единице. Если нормировка этого представления равна 2, то это представление является суммой двух нормированных представлений, если нормировка равна 3 , то в разложении содержится три нормированных представления. Нормированные представления называются также неприводимыми представлениями, а не нормированные - приводимыми представлениями.
Для каждого элемента симметрии характер приводимого представления равняется сумме характеров нормированных представлений: (G)=a(G), где суммирование ведётся по нормированным представлениям и a-число повторений представлений в разложении. Если умножить обе стороны равенства на характер нормированного представления и просуммировать по всем элементам симметрии группы, можно получить :
(1.0)
.
В практическом применении этой теории часто встречается необходимость определить сколько раз в разложении содержится представление инварианта или единичное нормированное представление, для которого inv(G)=1 для всех элементов G.
.
1.9Группа перестановок р3 и группа инверсий
Мы видели, что точечную группу Оh можно представить как произведение двух групп : группы перестановок трёх координатных осей Р3 и группу инверсий осей координат. Группа перестановок имеет следующие подгруппы:
Группа перестановок трёх осей : Р3 123,213,321,132,231,312.
Группа двойных перестановок трёх осей : Р32 123,231,312.
Группы перестановки двух осей : Р2z (123, 213); Р2x (123,132); Р2y (123, 321)
Группа без перестановок Р1: 123
Группа инверсий I3 состоит из 8 элементов: 123, 123,123, 123, 123,123, 123, 123.
Подгруппы этой группы:
Группа двойных инверсий I2 состоит из элементов 123,123,123,123.
Группа инверсии трёх осей I3i состоит из элементов 123,123.
Группа инверсии одной оси: I1x123,123; I1y123,123; I1z123,123;
Группа инверсии двух осей: I2xy123,123.
Группу куба можно представить произведением двух групп: P3×I3. Остальные группы кубической сингонии также представляются произведение групп перестановок и групп инверсий. Oh= P3×I3; Td= P3×I2; Th= P32×I3; Т= P32×I2.