1.3Матрицы ортогональных преобразований

Простейшие виды матриц ортогональных преобразований следующие.

1.Тождественное преобразование. Это преобразование характеризуется единичной матрицей , при которой координаты не меняются: x=x, y=y, z=z, т.е.

(1.0) .

2.Преобразование инверсии: x=  x, y=  y, z=  z, т.е.

(1.0)

Поворот системы координат вокруг оси z: C_z() характеризуется ортогональной матрицей следующего вида:

(1.0)

c=сos, s=sin.

Определитель матрицы поворотов равен +1. Такие преобразования называются собственными или чистыми вращениями. В преобразовании ( 1 .0) принята правая система координат и поворот происходит против часовой стрелки.

Повороты вокруг осей x: C_x() и y: C_y() описываются следующими матрицами

(1.0) , .

Сочетание поворота и инверсии дают несобственные вращения или зеркально поворотные преобразования. Определитель матриц таких преобразований равен –1. Поскольку при перемножении матриц определитель перемножаются, то можно записать несколько простых правил для собственных и несобственных преобразований.

1. Никакая комбинация собственных преобразований не может быть представлена в виде несобственного преобразования. Проще говоря, такие преобразования как инверсия или зеркальные отражения не могут быть представлены в виде комбинации чистых поворотов.

2. Два несобственных преобразования дает собственное преобразование

3. Комбинация собственного и несобственного преобразования дает несобственное преобразование.

4. Матрицы несобственных преобразований получаются перемножением матриц собственных преобразований на инверсию или изменением знаков всех элементов .

1.4Матричное описание чистых вращений

Любой поворот системы координат можно представить как произведение трёх поворотов относительно трех осей: x, y, z. Если эти повороты осуществляются последовательно, то матрицы этих преобразований перемножаются в том же порядке.

Матрица любого поворота можно представить произведением трех матриц:

При перемножении матриц следует использовать правило умножения «строки на столбец».

Пример 1.Построить матрицу перехода к тригональной системе координат в кубе.

Этот переход может быть описан двумя поворотами:

1. Поворот относительно оси z на угол – 45^о с матрицей преобразования

При этом оси с направляющими косинусами [100],[010],[001] превращаются в оси с направляющими:

[2^-1/2, ‒2^-1/2,0], [2^-1/2, ‒2^-1/2,0], [001]. Поворот относительно этих осей на угол с сos=3^-½,sin=- (2/3)^½ с матрицей:

2. Результирующий поворот как произведение этих матриц:

Таким образом, переход к тригональной системе координат определяется переходом от осей [100],[010],[001] к осям

[2^-1/2, -2^-1/2,0], [6^-1/2, 6^-1/2,(2/3)^-1/2], [3^-1/2, 3^-1/2, 3^-1/2].

Любое преобразование трёхмерного пространства, связанное с поворотами можно представить как поворот вокруг только одной оси на некоторый угол. Причем направляющие косинусы этой оси и угол поворота определяются через коэффициенты матрицы преобразования следующим образом:

( 1.0)

Пример 2. Определить тип поворота для матрицы

Решение. сos=‒1, = , n=2. Это поворот вокруг оси второго порядка C_2z, совпадающего с осью z .

Пример 3.Определить тип поворота для матрицы

Решение. сos=0, = /2, n=4, ₁=₂= 0, ₃= 1.Это поворот вокруг оси четвёртого порядка C_4z, совпадающей с осью z.

Пример 4.Определить тип поворота для матрицы

Решение: сos =0,  = /2, n=4, ₁=₂= 0,₃= - 1. Это поворот на 90^о вокруг оси четвертого порядка, совпадающей с осью противоположной оси z , или поворот на угол –90^о(270^о) вокруг оси z.