2.6. Игры без седловых точек

Игры с седловыми точками встречаются достаточно редко. Более часто встречаются игры без седловой точки, для которых выполняется неравенство:

< . (7)

В данном случае решение ищется в смешанных стратегиях. Смешанной называется стратегия, состоящая в чередовании своих чистых стратегий с определенными частотами. Отклоняясь от минимаксных стратегий, игроки могут обеспечить себе: игрок 1 - выигрыш больше максимина, игрок 2 - проигрыш меньше минимакса. При этом они стараются скрыть выбор стратегии. Самый надежный для этого путь - выбирать свою стратегию случайным образом. Игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию с вероятностью , , игрок 2 выбирает свою j-ю стратегию с вероятностью , . Смешанные стратегии обозначаются: для игрока 1 - , для игрока 2 - .

Причем выполняются условия : и (8)

Для любой игры без седловой точки существует пара оптимальных стратегий и , которые вместе с ценой игры - платежом, соответствующим этим стратегиям, образуют решение парной антагонистической игры в смешанных стратегиях.

2.7. Методы решения игр в смешанных стратегиях

Рассчитаем стратегию игрока 1, которая должна обеспечить игроку 1 выигрыш не меньше при любом поведении противника и равный при его оптимальном поведении.

Пусть > 0, т.е. , этого всегда можно добиться, прибавляя ко всем элементам достаточно большое число М. При этом цена игры увеличится на М, а стратегии не изменятся. Исходя из этого при выполнении данной работы производить вычитание D / 2 из элементов по платежной матрицы первого игрока не нужно. Цена игры, рассчитанная при этом, будет соответствовать ожидаемому размеру заключенных фирмой 1 контрактов.

Пусть игрок 1 применит свою смешанную стратегию , а игрок 2 - чистую стратегию , тогда средний выигрыш игрока 1 равен

, . (9)

Средний выигрыш игрока 1 должен удовлетворять условию , откуда следует n условий:

; . (10)

Введем обозначение , .

С помощью введенных обозначений получаем:

.

, (11)

Так как игрок 1 стремится максимизировать свой выигрыш, то частоты должны быть выбраны такими, чтобы доставить максимум цене игры , что равносильно требованию минимизировать величину , что равносильно требованию:

. (12)

Таким образом, задача определения оптимальной стратегии игрока 1 свелась к задаче линейного программирования.

Аналогичным образом можно найти оптимальную стратегию игрока 2.

При этом задача сводится к отысканию максимума величины

(13)

при следующих ограничениях :

(14)

где , .

Эти задачи образуют пару двойственных задач линейного программирования. Первоначальная при этом называется исходной, или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается главным образом в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. При этом в двойственной задаче линейного программирования коэффициентами целевой функции являются правые части ограничений исходной задачи и наоборот.

В нашем примере ограничения для первого игрока выглядят следующим образом:

Найдя методами линейного программирования L₁=L₂ ; z_i¹ , ; z_j² , , решение игры можно найти по формулам:

, (15)

, , (16)

, . (17)