методичка 3649

Цель работы: изучение устройства и движения гироскопа под действием момента внешних сил; определение частоты оборотов ротора и момента сил трения в его подшипниках.

Приборы и принадлежности: гироскоп в кардановом подвесе, набор сменных грузов, секундомер, стробоскоп, частотомер.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ, МЕТОД ЭКСПЕРИМЕНТА

Гироскопом называется симметричное вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое положение в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла поворачиваться в любом направлении, его закрепляют в кольцах карданового подвеса (рис. 1). Наружное кольцо может свободно поворачи- ваться вокруг вертикальной оси DD. Внутреннее кольцо связано с кольцом горизонтальной осью BB. В кольце укреплен гироскоп, ось вращения которого AA перпендикулярна к осям DD и BB. Центр масс гироскопа находится на пересечении всех трех осей в точке C и при любом повороте колец сохраняет свое положение в                                         Рис.1 пространстве. Такой гироскоп называется свободным или уравновешенным.

Движение гироскопа описывается уравнением моментов:

,                                                                (1)

где  – момент импульса гироскопа относительно точки пересечения осей;

– момент внешних сил относительно той же точки.

 

Дальнейшие выкладки поясняются векторной схемой, представленной на рис. 2, где расположение гироскопа и обозначения осей те же, что и на рис. 1.

Пусть вначале М = 0, а угловая скорость гироскопа w₀. Тогда , где J₀ – момент инерции гироскопа относительно оси вращения AA. Если теперь к оси гироскопа приложить внешнюю силу , то возникает

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2                                            Рис. 3

 

момент силы , лежащий в горизонтальной плоскости. Из рисунка видно, что векторы  и  ортогональны. За время  вектор  получает приращение , направленное так же, как и вектор , поэтому сила , не изменяя величины вектора , заставляет его конец описывать окружность в горизонтальной плоскости.

Проекция вектора  на горизонтальную плоскость за время  повернется на угол , причем, как это следует из рис. 2, ее приращение будет

 

или с учетом (1)

,

где α – угол, который вектор  составляет с вертикалью.

Отсюда следует, что угловая скорость вращения вектора  вокруг вертикальной оси DD

^, (2)

что в векторной форме дает

.                                                                               (3)

Таким образом, на основании (3) можно утверждать, что под действием момента внешних сил  ось гироскопа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , описывая в пространстве конус. Поскольку вектор  поворачивается вместе с вектором , а их взаимное расположение не изменится со временем, вращение оси гироскопа при постоянной силе  оказывается равномерным. Это вращение называется регулярной прецессией, а величина  – угловой скоростью прецессии.

Если ось гироскопа горизонтальна (рис.3), то вместо (2) получим

.                                                   (4)

Следует отметить, что приведенные здесь рассуждения справедливы лишь для быстро вращающегося гироскопа, т.е. при

.                                                                                (5)

Экспериментальная установка (рис.4) состоит из высокооборотного электромотора ЭМ, питающегося постоянным током. Ротор мотора, представляющий собой массивный стальной цилиндр, играет роль гироскопа. Изображенный на рис.4 рычаг С является продолжением оси ротора. Подвешивая к нему различные грузы Р , можно изменять моменты внешних сил  , действующих на гироскоп. Мотор укреплен в кольце А и может поворачиваться вокруг горизонтальной оси. Кольцо А укреплено на вертикальном стержне, который может поворачиваться вокруг вертикальной оси аа. Расстояние ℓ от точки подвеса до горизонтальной оси (до центра масс гироскопа) указано на установке.

Рис.4

До сих пор мы предполагали подвеску гироскопа идеальной и пренебрегали силами трения в его осях (подшипниках). Силы трения в гироскопических подшипниках весьма малы, но и они приводят к усложнению прецессии. Так, силы, возникающие при вращении кольца А (см. рис.4), приводят к медленному опусканию оси ротора гироскопа.

В настоящей работе требуется определить частоту оборотов ротора гироскопа по ее регулярной прецессии и рассчитать момент сил трения в его подшипниках.

Из выражения (4) следует, что

,                                                             (6)

где М – момент внешних сил, задаваемый сменными грузами Р : М = Pℓ = mgℓ ; J₀ – момент инерции ротора; Ω – угловая скорость прецессии.

При постоянном моменте внешних сил М угловая скорость прецессии Ω будет постоянной и ее можно найти, измерив время, за которое ось ротора совершает N оборотов:

.                                                                               (7)

Число оборотов ротора гироскопа в секунду, очевидно, будет

.                                            (8)

Сняв груз Р , измеряем время с момента выключения питания мотора до его полной остановки, т.е. время выбега  t_в. По полученным данным на основании выражения (1) можно найти момент сил трения в подшипниках ротора

.                                            (9)

Скорость вращения ротора гироскопа можно определять и непосредственно с помощью частотомера. При этом используются различного рода датчики (механические, индукционные и др.). В случае свободного гироскопа предпочтительно использовать стробоскопический метод измерения частоты вращения.

К достоинствам этого метода следует отнести: наглядность, простоту и автономность. Для определения скорости (частоты) вращения ротора последний освещается стробоскопической лампой, дающей короткие яркие вспышки света. Если частота вращения равна или кратна частоте вспышек, то в момент вспышки ротор оказывается в одном и том же положении и кажется неподвижным. При этом можно рассмотреть его поверхность.

Таким образом, при кажущейся остановке ротора частота его вращения n₀ связана с частотой вспышек n₁ соотношением

n₀ = kn₁ ,                                                                      (10)

где   k - любое целое число.

Увеличивая частоту вспышек, можно заметить, что следующая “остановка” ротора происходит при частоте вспышек n₂ , связанной с частотой вращения ротора n₀ соотношением

n₀ = (k –1)n₂.                                                                (11)

 

Зафиксировав не две, а несколько “остановок” ротора, можно построить график зависимости k(1/n_m). Данный график представляет собой прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти частоту вращения ротора n₀:.

(12)

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Ознакомьтесь с конструкцией гироскопа: найдите ротор гироскопа, внутреннее и наружное кольца карданова подвеса.

2. Установите ось гироскопа в горизонтальное положение, осторожно поворачивая его за рычаг С.

3. Включите питание гироскопа и выждите 3-5 минут для того, чтобы вращение гироскопа успело стабилизироваться.

4. Подвесьте к рычагу С груз Р; при этом должна начаться регулярная прецессия гироскопа. По прецессии определите, в какую сторону вращается ротор. Трение в оси аа приводит к тому, что рычаг С начинает медленно опускаться.

5. Отклоните рычаг С на 5-6˚ вверх от горизонтальной плоскости. Подвесьте к нему груз Р и найдите угловую скорость регулярной прецессии Ω (по числу оборотов рычага вокруг вертикальной оси и по времени прецессии). Наблюдение продолжайте до тех пор, пока рычаг С не опустится на 5-6˚ ниже горизонтальной плоскости, сделав целое число оборотов вокруг вертикальной оси. Опыт повторите не менее трех раз. Результаты измерений занесите в таблицу (часть I):

I                                                    II                            III

№ п/п	m, кг	ℓ, м	t, с	N	n0, об/с	ni, об/с	n0, об/с	tв, с	M, Н/м
1 2 3 … ср

 

1. По формуле (8) рассчитайте частоту вращения ротора гироскопа. Длина плеча указана на установке.

2. Снимите груз и подключите стробоскоп и частотомер к сети. Включите стробоскопическую лампу-вспышку и направьте свет от лампы на отверстие в кожухе гироскопа.

3. Установите на стробоскопе диапазон частот 70-140 Гц и верньер в крайнее положение, соответствующее максимальной частоте.

4. Плавно вращая верньер стробоскопа, получите устойчивую картину, при которой четко виден номер на роторе гироскопа и измерьте частоту вспышек стробоскопа n_i по частотомеру.

5. Уменьшая частоту вспышек стробоскопа и переходя на второй диапазон частот, зафиксируйте еще 2-3 последовательные “остановки” ротора. Результаты измерений занесите в таблицу (часть II):

6. По полученным данным постройте график зависимости k = f(1/n_m).

7. Используя график, найдите частоту вращения ротора n₀ как угловой коэффициент прямой. Сравните результаты, полученные при расчете по формуле (8).

8. Выключите гироскоп, включив одновременно секундомер для определения времени выбега t_в ротора гироскопа. Опыт повторите еще два раза. Результаты измерений занесите в таблицу (часть III): По формуле (9) рассчитайте момент сил трения в подшипниках гироскопа.

9. Оцените погрешности измерений n₀ и М_тр .

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется гироскопом? Каковы его основные свойства.

2. Что называется моментом импульса? Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

3. Что называется моментом силы? Как определить направление момента сил?

4. Выведите выражение (8).

5. Почему быстро вращающийся волчок стремится принять вертикальное положение?

6. Что называется прецессией гироскопа? Как изменится скорость прецессии с изменением угловой скорости; с изменением момента сил внешних сил?

7. Где и для какой цели находят применение гироскопы?

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002. С. 41–43.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т.1. М.: Наука, 1989. С. 112–117.

3. Гольдин Л.Л. Лабораторные занятия по физике. М.: Наука, 1983. С. 128-133.