Решение.

Доля тепловых потерь в цепи потребления определяется как

η = (I²R)/N,

где I – ток в цепи , R –сопротивление цепи, N – передаваемая линией мощность. Доли тепловых потерь в первом и втором случаях связаны соотношением:

η / η₁ = (I / I₁)² = n.

Поскольку мощность, передаваемая линией в обоих случаях одна и та же, то

(I ^.U) = ( I₁^.U₁).

Тогда

n = η / η₁ = (U₁ / U)²,

отсюда U₁ = n^1/2 U.

3. Спираль электроплитки с сопротивлением R = 40 Ом при включении в сеть имеет температуру на Δt₁ = 400^oC большую, чем температура воздуха. Дальнейшее нагревание прекращается из-за теплопередачи в окружающую среду. Какова будет разность температур спирали плитки и окружающего воздуха, если последовательно с плиткой включить сопротивление r = 10 Ом? Теплопередача пропорциональна разности температур спирали и окружающего воздуха. (Гольдфарб, 21.51)

Ответ: Δt₂ = Δt₁[R/(R + r)]² = 256^oC.

Решение.

Обозначив через Q₁ и Q₂ тепловые мощности, выделяемые в электроплитке в двух случаях, указанных в условии задачи, можно записать

Q₁ = k Δt₁, Q₂ = k Δt₂.

Подставляя значения Q₁ и Q₂ равные

Q₁ = (U/R)²R, Q₂ = [U/(R +r)]²R,

Получим

[(R +r)/R]² = Δt₁ /Δt₂.

Отсюда

Δt₂ = Δt₁[R/(R + r)]² = 256^oC.

4 . В цепи, схема которой показана на рисунке, ЭДС батареи ε = 100 В, ее внутреннее сопротивление r = 100 Ом, емкость конденсатора С = 200 мкФ и сопротивление нагревателя R = 10 Ом. Ключ К переключаются между контактами 1 и 2 десять раз в 1 с. Когда ключ находится в положении 1, конденсатор полностью заряжается, а при его переброске в положение 2 конденсатор полностью разряжается. Чему равен коэффициент полезного действия цепи? Во сколько раз он выше, чем при непосредственном подключении нагревателя к батарее? Какова средняя мощность электрического тока в нагревателе? (ВОФ, 1978, 286)

Ответ: η ≈ 0.545 , η/η^/ ≈ 6, N ≈ 11 Вт,

Решение.

При зарядке конденсатора до напряжения U = ε по цепи проходит заряд q = Cε. Источник тока (сторонние силы в источнике) совершает работу

A = qε = Cε².

Энергия, запасаемая в электростатическом поле конденсатора W_k = ½ Cε², равна лишь половине этой работы. Вторая половина идет на нагревание резистора R и самого источника. Энергия W₁ , выделяющаяся в резисторе, и энергия W₂, обусловливающая нагрев источника, выражаются так:

W₁ = I²RΔt и W₂ = I²rΔt.

Следовательно

W₁/W₂ = R/r и W₁+ W₂ = ½ Cε².

Отсюда найдем, что в резисторе R выделяется энергия

W₁ = ½ Cε²[R/(R + r)].

При разрядке конденсатора в резисторе выделится дополнительно энергия W_k = ½ Cε².

Следовательно, за период колебаний переключателя всего в резисторе выделяется энергия

W = ½ Cε²[1 +R/(R + r)].

Мощность тока в резисторе равна

N = ½ f Cε²[1 +R/(R + r)] ≈ 11 Вт,

где f – число переключений в 1с. КПД цепи равен

η = W/A = ½ [1 +R/(R + r)] ≈ 0.545.

При непосредственном подключении резистора R к источнику по цепи будет идти ток I = ε/(R + r)].

При этом мощность тока в резисторе

I²R = ε²R /(R + r)².

КПД при этом будет равен

η^/ = R/(R + r) ≈ 0.09,

т.е. значительно меньше, чем в первом случае.

5. В комнате горит электрическая лампа мощностью Р₁ = 100 Вт, подключенная к сети с напряжением U = 220 В. Сопротивление проводов, подводящих к квартире электроэнергию, составляет R_o = 4 Ом. Как изменится напряжение на лампе, если включить электрокамин мощностью Р₂ = 500 Вт? (1001, 13.63^*)

Ответ: понизится на ΔU = 8 B.