Решение.

Т ак как конденсатор соединен с батареей, то после введения пластины разность потенциалов между его пластинами остается неизменной и равной ЭДС. До введения пластины мы можем записать

ε = (q/ε₀S)d.

После введения пластины запишем

ε = (1/ε₀S){(q₁ – Q/2)(d/4) + (q₁ + Q/2)(d/2)},

где q₁ – новый заряд на пластинах конденсатора. Отсюда заряд, прошедший через гальванометр равен

Δq = q₁ – q = (2q +Q)/6 .

15. Два конденсатора, каждый емкостью С , заряжены до напряжения U_o и соединены резистором. Пластины одного из них быстро сближают так, что заряд на пластинах за время их перемещения не меняется. Во сколько раз изменилось расстояние между пластинами, если в последующем процессе перезарядки на резисторе выделилось количество тепла равное 1/12 энергии, запасенной в конденсаторах до перемещения пластин.

Ответ: в два раза.

Решение

В начальном состоянии полный заряд на конденсаторах Q = 2q_o = 2CU_o, а энергия W_o = 2(½ CU_o²)= CU_o².

После сближения пластин емкости конденсаторов стали С и nС, а заряды еще не изменились. Следовательно, для энергии системы конденсаторов можно записать

W₁ = ½ q_o²/C + ½ q_o²/(nC) = ½ CU_o²[(n + 1)/n].

После перезарядки. Напряжение на конденсаторах стало U, заряды СU и nCU. Из закона сохранения заряда:

2CU_o = СU + nCU, отсюда U = 2U_o/(n + 1).

Тогда для энергии конденсаторов после перезарядки получим

W₂ = ½ СU² + ½ nСU² = 2 CU_o²/(n + 1).

Выделившееся на резисторе теплота равна разности энергий W₁ и W₂:

Q = W₁ - W₂ = ½ CU_o²[(n + 1)/n] - 2 CU_o²/(n + 1) = CU_o²(1 – n)²/[2n(1 + n)].

По условию задачи

Q = W_o/12 = CU_o²/12.

Отсюда получим уравнение для определения n:

5n² – 13n + 6 = 0.

Решениями этого уравнения являются значения n₁ = 2, n₂ = 0.6.

16. Две бесконечные параллельные проводящие плиты заряжены так, что суммарная поверхностная плотность заряда обеих поверхностей первой плиты равна σ₁, а второй – σ₂. найти плотность заряда каждой поверхности обеих плит. (Меледин, 3.6)

Ответ: σ₁^/= σ₂^// = ½ (σ₁ + σ₂₎, σ₁^//= - σ₂^/ = ½ (σ₁ - σ₂₎.

Решение

В ведем поверхностную плотность заряда на внешней и внутренней поверхностях плит σ₁^/, σ₁^// и σ₂^/, σ₂^//. Закон сохранения заряда дает:

σ₁ = σ₁^/ + σ₁^//, σ₂ = σ₂^/ + σ₂^//.

Внутри проводящих плит поля нет, поэтому для проекций напряженностей полей на ось Х внутри первой и второй плит можно записать

(σ₁^/- σ₁^// - σ₂^/ - σ₂^//)/(2ε_o) = 0,

(σ₁^/+ σ₁^// + σ₂^/ - σ₂^//)/(2ε_o) = 0.

Отсюда получим:

σ₁^/= σ₂^// = ½ (σ₁ + σ₂ ), σ₁^//= - σ₂^/ = ½ (σ₁ - σ₂ ).

VII. Электрический ток.

7.1. Постоянный ток.

1 . Амперметр зашунтирован двумя последовательно соединенными сопротивлениями. При включении в цепь клемм АВ максимальный ток, который можно измерить, равен J. При включении клемм АС – ток в n раз меньше. Какой максимальный ток можно измерить, включив клеммы ВС?

Ответ: J_x = J/ (n-1).

Решение.

Пусть внутреннее сопротивление амперметра равно r . Обозначим ток, при котором стрелка амперметра отклоняется на всю шкалу через I. Тогда при включении клеммы АВ можем записать

I(r+R₂) = (J - I)R₁

или

I(r+R₁+R₂) = JR₁.

При включении клемм АС:

Ir = {(J/n)-I}(R₁+R₂)

или

I(r+R₁+R₂) = (J/n)(R₁+R₂).

Если включить клеммы ВС, то

I(r+R₁) = (J_x-I)R₂

или

I(r+R₁+R₂) = J_xR₂.

Решая систему этих уравнений, получаем

J_x = J/(n-1).

2 . В одно из плеч моста Уитстона включено нелинейное сопротивление, для которого закон Ома не справедлив, и зависимость тока (в амперах) от приложенного напряжения (в вольтах) имеет вид I = 0.01U³. В остальные плечи моста включены одинаковые сопротивления R =4 Ом. При каком токе через батарею мост окажется сбалансированным, т.е. через гальванометр не будет течь ток?

Ответ: I_ист = 2.5 А.