Решение.

Запишем условие равенства моментов силы давления воды и силы тяжести, действующих на тело, с учетом отсутствия подтекания. В качестве оси вращения выбираем правое ребро нижней грани:

½ ρgL[2^.4L³ + (h – 4L)L²] = 3L³(2ρ – ρ)g(3L/2).

Отсюда h = 5L.

7. Кусок медного купороса весит в воздухе Р₁ = 100мН, а в керосине Р₂ = 70мН. Определить плотность медного купороса. Медный купорос в керосине не растворяется. Каким станет его вес в керосине, если взвешивание производить в лифте, поднимающемся с ускорением а = 4м/с².

Ответ: ρ = 2.7г/см³ , Р₃ = 110мН.

Вес куска медного купороса в керосине уменьшается на величину выталкивающей силы F_выт = ρ_кVg, где ρ_к - плотность керосина, V – объем куска. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, можно записать

P₁ = ρVg,

P₂ = ρVg - ρ_кVg = (ρ- ρ_к)Vg,

где ρ- плотность медного купороса.

Подставляя, выраженный из первого уравнения объем V во второе уравнение, получим

P₂ = (ρ - ρ_к) P₁/ρ,

отсюда

ρ = ρ_к P₁/( P₁ - P₂).

Принимая ρ_к = 0.8 г/см³, получим ρ = 2.7 г/см³.

Для определения веса медного купороса в лифте, рассмотрим силы, действующие на него: сила тяжести mg = ρVg = P₁, выталкивающая сила F_выт , и сила реакции со стороны весов, численно равная весу купороса. Равнодействующая этих сил сообщает ускорение а куску купороса:

N + F_выт - mg = ma,

отсюда

N = mg(1 + a/g),

Но

mg = P₁, F_выт = P₁ - P₂.

Окончательно получим

N = a/g P₁ + P₂ = 110 мН.

8 . В дне цилиндрической кастрюли площади S просверлили отверстие площади s и вставили в него пластмассовую трубку. Масса кастрюли с трубкой равна М. Кастрюля стоит на ровном листе резины дном вверх (см. рис.). Сверху в трубку осторожно наливают воду. До какого уровня можно налить воду, чтобы она не вытекала снизу? (XII Всесоюзная олимпиада, 1978 г.)

Ответ: H = h + m/[ρ(S – s)].

Решение

Вода начинает вытекать, когда ее сила давления на дно кастрюли уравновешивает силу тяжести

Mg + (P – P_атм) (S – s),

т.к.

P = P_атм + ρg(Н – h),

то

H – h = m/[ρ(S – s)].

Отсюда

H = h + m/[ρ(S – s)].

9. В бак с водой опущена длинная стеклянная трубка с площадью поперечного сечения s . Верхний конец трубки открыт и находится выше уровня воды в баке, а снизу трубка закрыта пластинкой с площадью сечения S и толщиной l (см. рис.). Плотность материала пластинки ρ_ПЛ больше, чем плотность воды ρ_В. Трубку медленно поднимают вверх. Определить на какой глубине h пластинка оторвется от трубки. Ответ: h = (S/s)(ρ_ПЛ /ρ_В - 1) l .

Решение

Моменту отрыва пластинки соответствует равновесие сил, действующих на нее:

силы давления F₁, действующей сверху

F₁ = ρ_Bg(S – s)h+ P_oS;

силы давления воды F₂, действующей снизу

F₂ = ρ_BgS(h + l) + P_oS

и силы тяжести, действующей на пластинку

F_T = ρ_плglS.

Сила реакции со стороны трубки в момент отрыва равна нулю. Из условия равновесия сил

ρ_Bg(S – s)h+ P_oS + ρ_плglS = ρ_BgS(h + l) + P_oS,

получим

h = (S/s)( ρ_пл /ρ_B - 1)l.

4.2. Гидродинамика.

1. Насос подает объем воды V в час на высоту Н по трубе диаметром d . Какой должна быть мощность насоса? Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать объем воды V в час на ту же высоту? (Слободецкий, №37)

Ответ: N = 32ρV³/ (π²d⁴) + ρVgH.