Решение.

Напряжение на конденсаторе U найдем из закона Ома:

U = JR,

где R = ρ(d/S) – омическое сопротивление конденсатора →

U = Jρ(d/S).

Напряженность поля внутри конденсатора

E = U/d = Jρ/S.

Эту напряженность создают заряды Q на обкладках конденсатора:

Е = Q/( ε₀εS).

Положительный заряд Q = ε₀εSE создает напряженность E₁ поля, действующую на отрицательный заряд:

E₁ = Q /(2ε₀S) = ½ εE.

Обратим внимание, что суммарное поле поляризационных зарядов вне диэлектрика равно нулю, и поэтому сила электрического действия на заряды обкладок равна нулю. На отрицательные заряды действует сила

F = QE = ½ εE ε₀εSE = ½ ε₀ε²E₂S.

Подставляя в это выражение Е =Jρ/S, окончательно получим

F = ε₀ε²ρ²J²/2S.

2 0. Найти сопротивление бесконечной цепи, построенной из одинаковых сопротивлений r.

Ответ: R = r(1+√3).

Решение.

П усть полное сопротивление цепи равно R. Очевидно, если мы выделим мысленно первую ячейку, то получим ту же цепь с сопротивлением R, так как число ячеек бесконечно. Тогда сопротивление между точками 1 и 2 равно R и

R = 2r + Rr/(R+r),

Отсюда

R = r(1+√3).

21. Электрический прибор подключен к источнику питания двумя длинными проводами сечения S_o = 1 мм² каждый. При включении прибора выяснилось, что напряжение на приборе меньше напряжения на выходе источника питания на 10%. Какой должна быть площадь сечения подводящих проводов той же длины, для того чтобы напряжение уменьшилось только на 1%. (Меледин, 3.83)

Ответ: S_x = 11 мм².

Решение

Напряжение на приборе равно

U_пр = U_oR/(R + r),

где R – сопротивление прибора, r – сопротивление проводов; отсюда

r = R(U_пр/U – 1).

В первом случае сопротивление проводов

r₁ = R(100/90-1) = R/9,

во втором случае сопротивление

r₂ = R(100/99 -1) = R/99.

Отсюда r₁/r₂ = 11, т.е. надо увеличить сечение в 11 раз. Таким образом, S_x = 11 мм².

2 2. В плоский конденсатор с квадратными пластинами вдвигается с постоянной скоростью v металлическая пластина. Конденсатор включен последовательно с резистором, имеющим сопротивление R, и с источником тока, ЭДС которого равна ε (см. рис.). Найти установившуюся мощность, выделяющуюся на резисторе. Расстояние между пластинами конденсатора равно d_o. Площадь вдвигаемой пластины равна площади пластин конденсатора L×L, а ее толщина равна d. (Меледин, 3.92)

Ответ: P = ε²R/{R + (d_o – d)d_o/(ε_oLvd)}².

Решение

П усть пластина вошла в конденсатор на расстояние х, тогда образовавшуюся систему можно рассматривать как два параллельно соединенных конденсатора с площадями L×x и L×(L – x). При этом, первый из этих конденсаторов, в свою очередь, можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора с расстояниями между пластинами z и d_o – d – z, где z – расстояние от вдвигаемой пластины до одной из пластин конденсатора. Емкость первого конденсатора найдем из соотношения

1/C₁ = z/(ε_oLx) + (d_o – d – z)/(ε_oLx) = (d_o – d )/(ε_oLx) →

C₁ = ε_oLx/(d_o – d ).

Емкость второго конденсатора равна

C₂ = ε_oL(L – x)/d_o.

Изменение заряда на этой системе конденсаторов при увеличении расстояния x на Δх = vΔt будет равно

Δq = IΔt = U(ΔC₁ + ΔC₂) = Uε_oL [Δx/(d_o – d) - Δx/d_o) = Uε_oLΔxd/[(d_o – d)d_o] =

= Uε_oLvΔtd/[(d_o – d)d_o].

Или

I = Uε_oLvd/[(d_o – d)d_o].

где U = ε – IR – напряжение на конденсаторе, I – ток в цепи. Разрешая это уравнение относительно тока, получим

I = ε/{R + (d_o – d)d_o/(ε_oLvd)}.

Отсюда для мощности, выделяющейся в виде теплоты на резисторе, имеем

P = I²R = ε²R/{R + (d_o – d)d_o/(ε_oLvd)}².

2 3.Конденсатор емкости С и резисторы, сопротивления которых равны R₁=R₂=R₃=R₄=R, включены в электрическую цепь, как показано на рисунке. Найти установившийся заряд на конденсаторе. Напряжение U_o известно. (Меледин, 3.96)

Ответ: q = 4CU_o/5 .