Решение.

Г рафик движения второго автомобиля представляет собой параболу, изображенную на рисунке. Очевидно, что скорость первого автомобиля не может быть слишком большой, иначе обгон совершится всего один раз (точка В на рисунке, тогда как точка А соответствует встрече машин). Скорость не может и слишком малой (прямая ОС на рис.) т.к. в противном случае автомобили вообще не могут оказаться рядом. Таким образом, уравнение, выражающее равенство координат автомобилей:

v₁t = S – v_ot + ½ at²,

должно иметь два действительных решения (D ≥ 0), причем оба они соответствуют более поздним моментам времени, чем момент остановки (мгновенной) второго автомобиля, определенный равенством

- v_o + at = 0.

Оба условия дают

(2aS)^1/2 – v_o < v₁ < aS/v_o – ½ v_o,

или

8 м/с < v₁ < 9 м/с.

1.3. Криволинейное движение.

1. Тело бросают с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость v_o, направленную под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти нормальную и тангенциальную составляющие ускорения тела на высоте h , когда тело еще не достигло наивысшей точки траектории. Найти, также, время τ подъема тела на высоту h и горизонтальную проекцию s перемещения тела в этот момент времени.

Ответ: a_n = gcosβ, a_τ = - gsinβ, β = arcos[v_ocosα/(v_o² – 2gh)^1/2], τ = [v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2]/g , s = v_ocosα/g[v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2] .

Решение.

Н аправим оси декартовой прямоугольной системы координат так, как показано на рисунке. Начало отсчета поместим в точку бросания. Кинематические уравнения равнопеременного движения в нашем случае принимают вид

x = v_o cosα t,

y = v_osinα t – ½ gt²,

v_x = v_o cosα,

v_y = v_osinα – gt.

Пусть при t = τ тело достигло высоты h, тогда y = h, x = s. В этом случае

s = v_o cosα τ,

h = v_osinα τ – ½ g τ².

Из последнего уравнения находим

τ = [v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2]/g.

Второе значение со знаком “+” перед квадратным корнем соответствует случаю, когда тело “перевалило” за наивысшую точку траектории и вновь оказалось на высоте h над землей. Этот случай по условию задачи нас не интересует.

В момент времени t = τ проекция s перемещения тела равна

s = v_o cosα τ = v_ocosα/g[v_osinα – (v_o²sinα² – 2gh)^1/2].

Модули нормальной и тангенциальной составляющих ускорения тела будут равны

a_n = gcosβ, a_τ = - gsinβ,

где β – угол, который составляет с горизонтом (осью Ох) вектор v скорости тела в момент времени t = τ . Угол β легко определить, записав уравнения системы при t = τ , а именно

vcosβ = v_o cosα, vsinβ = v_osinα – g τ.

Действительно ,

v = (v_x² + v_y²)^1/2 = (v_o² – 2gh)^1/2

и cosβ = v_o cosα/v.

Отсюда

β = arcos[v_ocosα/ (v_o² – 2gh)^1/2].

Вычислив β, мы определили и направления составляющих a_n и a_τ. Таким образом, задача полностью решена.

2 . Из точки x = y = 0 одновременно брошены два тела с начальной скоростью v_o под разными углами α₁ и α₂ к горизонту (см. рис.). Чему равна скорость движения тел относительно друг друга? Чему равно расстояние между телами по прошествии времени t.

Ответ: u = 2v_ocos[(α₁ + α₂)/2], s = 2v_o tcos[(α₁ + α₂)/2].