Решение.

При сбалансированном мосте ток через все резисторы одинаков и равен

I = ½ E/R,

где Е – ЭДС батареи, а напряжение

U = ½ E.

Тогда для нелинейного резистора можно записать

Е/(2R) = 0.01(E³ / 8).

Отсюда

Е = 400 R^-1/2 = 10 В.

Ток через источник будет равен

I_ист = E/R = 2.5 А.

3. Резистор, сопротивление которого равно r и элемент, переменное сопротивление которого R = R_o – cU, где U – падение напряжения на элементе, а с – некоторая константа, включены последовательно в электрическую цепь. Найти ток в цепи, если на вход ее подведено напряжение U_o, а падение напряжения на элементе неизвестно. (Меледин, 3.82)

Ответ: I = {U_oc – r – R_o + [(r + R_o – U_oc)² + 4crU_o]^1/2}/(2cr).

Решение.

Падение напряжения на элементе

U = IR = IR_o – cI^.IR

Т.е

U = IR_o – cIU,

Откуда

U = IR_o/(1 + cI)

Закон Ома дает

U_o = Ir + U = Ir + IR_o/(1 + cI)

Отсюда, решая квадратное уравнение, находим

I = {U_oc – r – R_o + [(r + R_o – U_oc)² + 4crU_o]^1/2}/(2cr).

4 . В двухпроводной линии длины L на некотором расстоянии х от ее начала А^/А пробило изоляцию, что привело к появлению некоторого конечного сопротивления R_o между проводами в этом месте (см. рис.). Для поиска места пробоя провели три измерения: сопротивление между точками А^/ и А равно R₁ при разомкнутых концах В^/ и В и равно R₂ при коротко замкнутых концах В^/ и В, и сопротивление между точками В^/ и В при разомкнутых концах А^/ и А равно R₃. Найти расстояние х. (Меледин, 3.75)

Ответ: x = L(R₁ – R_o)/( R₁ + R₃ – 2R_o) , где R_o = [R₃(R₁ – R₂)]^1/2.

Решение.

В ведем сопротивление единицы длины двухпроводной линии ρ. Тогда с учетом схем, приведенных на рисунках, получаем

ρx + R_o = R₁,

ρx + R_oρ(L - x)/[R_o + ρ(L - x)] = R₂,

R_o + ρ(L - x)] = R₃.

Решая систему уравнений, находим

x = L(R₁ – R_o)/( R₁ + R₃ – 2R_o),

где

R_o = [R₃(R₁ – R₂)]^1/2.

5 . На однородный стержень, оба конца которого заземлены, падает пучок электронов, причем в единицу времени на единицу длины стержня попадает постоянное число электронов (см. рис.). Найти разность потенциалов между серединой стержня (т. А) и его концом (т. В). Сопротивление стержня равно R. Ток на участке заземления DF равен I. (Меледин, 3.77)

Ответ: U_AB = IR/8.

Решение.

Электроны движутся по стержню симметрично относительно точки А. Поэтому I_A = 0. По мере удаления от точки А сила тока растет по линейному закону. На расстоянии x сила тока

I_L = ½ Ix/L, где L = АВ.

По закону Ома

U_AB = ½ I_срR.

Т.к. зависимость тока от расстояния линейна, то среднее значение тока равно его среднему арифметическому:

I_ср = ½ (I_A + I_B) = ¼ I.

Окончательно

U_AB = IR/8.

Можно рассуждать иначе. Разобьем стержень на N (причем N → ∞) частей. В конце первого участка сила тока равна I₁, в конце n- го участка

I_n = nI₁ = ½ I, NI₁ = ½ I,

откуда

I₁ = ½ I/N.

Сопротивление одного участка равно ½ R/N, падение напряжения на n-ом участке

( ½ R/N)nI₁ = ¼ Irn/N².

Падение напряжения на всем стержне АВ равно

(¼ IR/N²)∑n = (¼ IR/N²)[N(N + 1)/2] → IR/8 при N → ∞.

6. Две проволоки, изготовленные из материала с малым температурным коэффициентом сопротивления, подключают к аккумулятору с очень малым внутренним сопротивлением сначала параллельно, а потом – последовательно. При параллельном подключении скорость дрейфа свободных носителей заряда в проволоках оказалась одинаковой, а при последовательном она в первой проволоке уменьшилась в k = 5 раз по сравнению с параллельным включением. Найти отношение диаметров проволок. (МГУ, физ. фак.,2001)

Ответ: x = 2.