Решение.

Поскольку конденсатор присоединен к батарее, то разность потенциалов между его пластинами остается все время неизменной и равной U. Следовательно, до введения диэлектрика в конденсатор напряженность поля в нем была

E = U/d = σ₀/ ε₀ → σ₀ = ε₀ E = U/d.

После введения диэлектрика часть зарядов на пластинах конденсатора скомпенсировалась поляризационными зарядами диэлектрика и для того, чтобы разность потенциалов на пластинах конденсатора (а, следовательно, и напряженности электрического поля) осталась неизменной, батарея должна поставить на пластины конденсатора дополнительные заряды. Поскольку поле в конденсаторе в ε раз меньше поля, создаваемого пластинами, то можно записать

Е = U/d = σ/ε₀ε → σ = (U/d) ε₀ε .

Таким образом, Δσ = σ - σ₀ = (U/d) ε₀(ε-1), откуда

ε = 1 + (Δσd)/(ε₀U).

8 . Конденсатор емкости С, заряженный до напряжения u, подключается через ключ К и большое сопротивление к батарее с ЭДС 5u. Определить количество тепла, которое выделится в цепи после замыкания ключа К.(МФТИ, 1973г)

Ответ: Q = 8Cu².

Решение.

Запишем закон сохранения энергии для данного случая:

А =ΔW + Q,

где А – работа, совершенная батареей. Она пошла на изменение ΔW энергии конденсатора и часть ее выделилась в виде тепла Q. Батарея совершила работу

А = Δq(5u),

где Δq – заряд, который протек по цепи. Но этот заряд равен, очевидно, приращению заряда на конденсаторе

Δq = С(5u) – Cu = 4Cu.

Так как конденсатор, в конце концов, зарядился до разности потенциалов 5u. Энергия конденсатора увеличилась на величину

ΔW = (С/2){(5u²) - u²} = 12C u².

Таким образом

Q = 20C u² - 12C u² = 8C u².

9 . Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми обкладками заряжены одинаковыми количествами электричества. Расстояние между пластинами одного конденсатора (АА₁) вдвое больше, чем у второго (ВВ₁). Во сколько раз изменится разность потенциалов между пластинами первого конденсатора, если второй конденсатор вставить в первый, как это показано на рисунке.

Ответ: в 1.5 раза.

Решение.

Пусть напряженность электростатического поля, создаваемого одной пластиной, равна E. Тогда разность потенциалов между пластинами первого конденсатора равна

Δφ₁ = 2Еd.

На рисунке а) стрелками обозначены напряженности полей, создаваемые соответствующими пластинами. После того, как мы вставили второй конденсатор, картина полей будет иметь вид, представленный на рис. b). Тогда для разности потенциалов имеем

Δφ₂ = 2E(d/4) + 4E(d/2) +2E(d/4) = 3Ed , и

(Δφ₂/ Δφ₁) =1.5 .

+ A ¼ d

+ B

½ d

B₁

¼ d

A₁

b)

Можно предложить другой способ решения. Разность потенциалов между пластинами первого конденсатора Δφ₁ = 2Еd. Второго, взятого отдельно, Δφ₂ = 2Е(½ d). Согласно принципу суперпозиции разность потенциалов после объединения конденсаторов

Δφ₃ = Δφ₁ + Δφ₂ = 3Ed.

Таким образом: Δφ₃/Δφ₁ = 1.5.

1 0. Конденсаторы 1, 2 и 3 соединяют, как показано на рисунке. Конденсатор 1 при этом не заряжен, конденсаторы 2 и 3 заряжены, причем в случае соединения всех трех конденсаторов конденсаторы 2 и 3 подключены друг к другу разноименными обкладками. Найти заряд, появляющийся на конденсаторе 1 при соединении его с конденсаторами 2 и 3, если при соединении с конденсатором 2 на нем возникает заряд q₁₂, а при соединении с конденсатором 3 – заряд q₁₃. емкости конденсаторов равны соответственно С₁ , С₂ , С₃. Конденсаторы 2 и 3 имеют в случае соединения трех конденсаторов те же первоначальные заряды, что и в случаях раздельного их соединения с конденсатором 1. (Меледин, 3.61)

Ответ: q₁ = [q₁₂(C₁/C₂ + 1) + q₁₃(C₁/C₃ + 1)]/(1 + C₁/C₃ + C₁/C₂).