Решение.

Пусть на шаре находится некоторый заряд q, тогда при увеличении заряда на малую величину Δq, необходимо совершить работу

ΔА = Δq(φ - φ_∞),

Где φ = q/(4πε₀R) – потенциал шара, а φ_∞ - потенциал на бесконечности, т.е.

ΔА = Δq q /(4πε₀R).

Суммарная работа по заряжанию шара зарядом Q будет равна сумме элементарных работ:

А = Σ ΔА_i ,

или при Δq → 0

А = ∫(φ - φ_∞)dq = Q²/(8πε₀R).

12. Два металлических шарика радиусов r₁ = 1см и r₂ = 2см, находящиеся на расстоянии R = 100см друг от друга, присоединены к батарее с электродвижущей силой U = 3 кВ. Найти силу взаимодействия шариков. Взаимодействием соединительных проводов пренебречь.

Ответ: F = 44^.10^-9H.

Решение.

Разность потенциалов между шариками должна равняться ε. Следовательно ,

k(q₁/r₁ – q₂/r₂) = U,

где q₁ и q₂ – заряды шариков. Согласно закону сохранения заряда,

q₁ + q₂ = 0.

Отсюда

q₁ = - q₂ = U r₁ r₂ /[k( r₁ +r₂)].

По закону Кулона F = 4πε_o {Ur₁ r₂ / [( r₁ + r₂) R]}² = 44^.10^-9H.

1 3. Две тонкостенные металлические сферы радиусов R₁ и R₂ образуют сферический конденсатор. На внешней сфере находится заряд Q. Внутренняя сфера не заряжена. Какой заряд протечет через гальванометр, если замкнуть ключ К? Потенциал Земли принять равным нулю. (МФТИ, 1978.)

Ответ: q = -Q(R₁/R₂) .

Решение.

После замыкания ключа К внутренняя сфера соединяется с Землей. Это означает, что потенциал сферы сравнивается с потенциалом Земли, т.е. становится равным нулю. Согласно принципу суперпозиции этот потенциал складывается из потенциала, создаваемого на внутренней сфере внешней сферой и потенциала, создаваемого на внутренней сфере ее собственным зарядом (если таковой есть). Это можно записать в виде:

Q/(4πε₀R₂) + q/(4πε₀R₁) = 0 .

Таким образом,

q = - Q(R₁/R₂).

Но, поскольку первоначально внутренняя сфера не была заряжена, то через гальванометр протек именно заряд q .

14. На расстоянии r от центра изолированной металлической незаряженной сферы радиуса r находится точечный заряд q . Определить потенциал сферы.

Ответ:  = q / (4₀ r)

Решение.

Электрическое поле внутри сферы отсутствует, поэтому потенциалы всех находящихся здесь точек одинаковы и равны . Следовательно, достаточно определить потенциал одной точки – центра сферы. Этот потенциал как следует из принципа суперпозиции , складывается из потенциала

₁ = kq / r

поля точечного заряда и суммы полей всех зарядов q , образовавшихся на сфере:

 = ₁ + k / R q.

Однако , q = 0 (сфера в целом не заряжена), поэтому

 = ₁ = kq / r = q / (4₀ r)

15.Проводящий шар радиуса R соединен тонкой длинной проволокой с землей. На расстоянии r от его центра размещают точечный заряд + q . Какой заряд Q приобретет шар ? Влиянием проволоки на поле пренебречь.

Ответ: Q = - kq / r

Решение.

Потенциал заземленного шара равен нулю. При размещении вблизи шара положительного заряда нулевой потенциал поддерживается за счет перетекания на шар отрицательного заряда Q . Независимо от распределения заряда Q по поверхности (см.. предыдущую задачу ) потенциал центра шара

 = kq / r + kQ / R

( разумеется, остальные точки шара имеют тот же потенциал). Приравнивая  нулю,

получаем

Q = - kq / r

1 6. Плоский воздушный конденсатор подключен через гальванометр к источнику с постоянной ЭДС. При этом заряд на конденсаторе q. Параллельно пластинам вводится металлическая заряженная плита, заряд которой Q. Геометрические размеры указаны на рисунке. Какой заряд протечет через гальванометр?

Ответ: Δq = (2q +Q)/6 .