Решение

Обозначим через ν_1,2 число молей в первой и второй колбах. Уравнения газового состояния для начального и конечного состояний в обеих колбах дает

P₁V = ν₁RT, P₂V = ν₂RT,

P₁^/V = ν₁^/ RT₁^/, P₂^/V = ν₂^/ RT₂^/.

По закону сохранения энергии

с(ν₁ +ν₂)T = c(ν₁^/ T₁^/ + ν₂^/ T₂^/);

отсюда

P₁ + P₂ = 2P,

Так как количество газа не изменяется, то

ν₁ +ν₂ = ν₁^/ + ν₂^/;

тогда

2/T = 1/T₁^/ + 1/T₂^/.

Окончательно

T₂^/ = T/[2 – (T/T₁^/)].

28. В вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь сечения которого равна S, под поршнем массы m находится газ, разделенный перегородкой на два одинаковых объема. Давление газа в нижней части сосуда равно Р, внешнее давление равно Р_о, температура газа в обеих частях сосуда равна Т. На сколько сместится поршень, если убрать перегородку? Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Высота каждой части сосуда равна h. Стенки сосуда и поршень не проводят тепла. Трением пренебречь. (Меледин, 2.59)

Ответ: x = h[c/(c + R)][(P + P_о + mg/S)/(P_о + mg/S)].

Решение

Число молей газа в нижней и верхней частях сосуда

ν₁ = PhS/(RT), ν₂ = (P_о + mg/S)hS/(RT).

После того, как убрали перегородку, давление во всем сосуде стало равно P = P_о + mg/S. Тогда, используя уравнение газового состояния для конечного состояния, получаем

(P_о + mg/S)(2h – x)S = (ν₁ + ν₂)RT₂ = (P + P_о + mg/S)hS(T₂/T).

Поскольку газ в цилиндре теплоизолирован:

ΔQ = ΔU + A = 0,

или

P ΔV = (P_о + mg/S)Sx = c((ν₁ + ν₂)R(T₂ – T) = (c/R)hS(P + P_о + mg/S)[(T₂/T) – 1].

Из этих уравнений получаем

x = h[c/(c + R)][(P + P_о + mg/S)/(P_о + mg/S)].

29. В чайник со свистком налили воду массой 1 кг с температурой 20^оС и поставили на электроплитку мощностью 900 Вт. Через 7 минут раздался свисток. Сколько воды останется в чайнике после кипения в течение 2-х минут? Каков КПД электроплитки?

Ответ: m_в = 960 г, η = 0.89.

Решение

По определению КПД равен

η = Q_ПОЛ/Q_ЗАТР = Сm(Т₁₀₀ - Т₂₀)/Pτ₁ = 0.89,

где Т₁₀₀ = 373 К, Т₂₀ = 293 К, Р = 900 Вт, τ₁ = 420 с, m₁ = 1 кг, С = 4.2 кДж/(кг^.К).

Полученное значение КПД в интервале температур 20 – 100^оС в большей степени характеризует КПД плитки в близи температуры кипения, т.к. потери тепла за счет рассеяния в окружающую среду максимальны при наибольшей разнице температур среды и нагревательного элемента. Поэтому полученное значение может быть использовано и для расчетов процесса кипения.

Запишем уравнение теплового баланса для процесса кипения воды

ηPτ₂ = λm₂,

где τ₂ = 120 с, m₂ – масса выкипевшей воды, λ = 2.3 МДж/кг. Отсюда

m₂ = ηPτ₂/λ ≈ 42 г,

тогда масса оставшейся в чайнике воды равна m_B ≈ 0.96 кг.

30. В калориметре находится 1 кг льда при температуре Т₁ = -40^оС. В калориметр пускают 1 кг пара при температуре Т₂ = 120^оС. Определить установившуюся температуру и агрегатное состояние системы. Нагреванием калориметра пренебречь.

Ответ: пар и вода, m_П = 0.65 кг, m_В = 1.35 кг.

Решение

Прежде чем составлять уравнение теплового баланса, оценим, какое количество теплоты могут отдать одни элементы системы, а какое количество теплоты могут получить другие. Тепло отдают

1. пар при охлаждении до 100^оС,

2. пар при конденсации,

3. вода, сконденсировавшаяся из пара при остывании от 100^оС.

Тепло получают:

1. лед при нагревании до 0^оС,

2. лед при плавлении,

3. вода, полученная изо льда, при нагревании от 0^оС до некоторой температуры.

Оценим количество теплоты, отданное паром в процессах 1 и 2:

Q_отд = C_Пm_П(Т₂ - 100^о) + Lm_П = (2.2^.10^3.1^.20 + 2.26^.10⁶) = 2.3^.10⁶ Дж.

Количество теплоты, полученное льдом в процессах 1, 2:

Q_пол = C_Лm_Л(0^о – Т₁) + λm_Л = (2.1^.10^3.1^.40 + 3.3^.10⁵) = 4.14^.10⁵ Дж.

Из расчетов ясно, что Q_отд > Q_пол. Растаявший лед затем нагревается. Определим, какое количество теплоты нужно дополнительно, чтобы вода, образовавшаяся изо льда, нагрелась до 100^оС:

Q_пол = C_Вm_Л(100^о – 0^о) = 4.2^.10⁵ Дж.

Следовательно. Суммарное количество теплоты, которое может получить лед в результате процессов 1-3, нагреваясь до 100^оС, есть

Q_{пол,сум} = 8.34^.10⁵ Дж → Q_{пол,сум} < Q_отд.

Из последнего соотношения следует, что не весь пар будет конденсироваться. Часть оставшегося пара можно найти из соотношения

m_ост = (Q_отд - Q_{пол,сум})/L = 0.65 кг.

Окончательно, в калориметре будут находиться пар и вода при температуре 100^оС, при этом m_П = 0.65 кг, m_В = 1.35 кг.

31. Электрическим кипятильником мощностью W = 500 Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличилась от 85^оС до 90^оС. Затем кипятильник выключили, и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды равна С_В = 4.2 кДж/(кг^.К).

Ответ: m ≈ 1.8 кг.