Решение.

Согласно первому началу термодинамики для процесса 1→2 имеем

А₁₂ = - Δu₁₂ = с_v(Т₁ – Т₂) – первое начало применимо всегда, и для неквазистационарных процессов, как здесь, процессов тоже.

В процессе 2→3 Δu₂₃ = 0, т.е.

Q₂₃ = A₂₃ = ½ (P₂ + P₃)(V₃ – V₂) = ½ P₂V₂(1 + P₃/P₂)(V₃/V₂ – 1).

Поскольку

Т₂ = Т₃, то P₃/P₂ = V₂/V₃ = V₂/V₁ = k.

Тогда

Q₂₃ = ½ RT₂(1 + k)(1/k – 1) = ½ RT₂ (1 + k )(1 - k)/k.

Q₃₁ = (3/2 )R(T₁ – T₂).

Q = Q₁₂ + Q₃₁ = ½ RT₂ (1 + k )(1 - k)/k + (3/2 )R(T₁ – T₂).

Отсюда

Т₂ = (9/17)T₁ – (6/17)Q/R ≈ 50 K.

Итак,

А₁₂ = (3/2)R(T₁ – T₂) = 625 Дж.

2 1. Параметры идеального одноатомного газа, взятого в количестве ν = 3моль, изменились по циклу, изображенному на рисунке. Температуры газа равны Т₁ = 400К, Т₂ = 800К, Т₄ = 1200К. Определить работу, которую совершил 2газ за цикл?

Ответ: А = 20кДж.

Решение.

Процессы (1→ 2) и (3 → 4) – изохоры, т.к. Р =const ^.T , что в соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева означает:

(νR/V) = const,

и, следовательно, V = const. Таким образом, работа в процессах (1→ 2) и (3 → 4) равна нулю, а V₁ = V₂ и V₃ = V₄. Работа газа за цикл складывается из суммы работ на участках (2→ 3) и (4 → 1)

А = А₂₃ + А₄₁ = Р₂(V₃ – V₂) + P₁(V₁ – V₄) = (P₂ – P₁)(V₁ – V₄).

Принимая во внимание, что

Р₂/P₁ = T₂/T₁ и V₄/V₁ = T₄/T₁,

получим

А = P₁(Р₂/P₁ – 1)V₁ (V₄/V₁ – 1) = P₁ V₁(T₂/T₁ – 1)(T₄/T₁ – 1) =

= νRT₁(T₂/T₁ – 1)(T₄/T₁ – 1) = 20кДж.

2 2. Найти работу, совершаемую молем идеального газа в цикле, состоящем из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры (см. рис.). Точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат. Температуры в точках 1 и 3 равны. Считать известными температуры Т₁ и Т₂ в точках 1 и 2. (МФТИ, до91г)

Ответ: A = ½ R(T₂ – T₁)(1 – (T₁/T₂)^1/2 ).

Решение

Работа за цикл равна A = A₁₂ + A₃₁.

A₁₂ = ½ (P₁ + P₂)( V₂– V₁) = ½ R(T₂ – T₁).

A₃₁ = - ½ (P₁ + P₃)(V₂ - V₁) = ½ P₁ V₁(1 + P₃/P₁)( V₂/V₁ – 1).

На прямой 1 → 2:

V₂/V₁ = P₂/P₁ = (T₂/T₁)^1/2.

На прямой 3 → 1:

P₃/P₁ = V₁/V₃ = V₁/V₂ = (T₁/T₂)^1/2 . (V₃ = V₂)

Отсюда

A₃₁ = - ½ RT₁[1 + (T₁/T₂)^1/2][(T₂/T₁)^1/2 - 1] = - ½ R(T₂ – T₁)(T₁/T₂)^1/2 .

Окончательно получаем

A = ½ R(T₂ – T₁)(1 – (T₁/T₂)^1/2 ).

23. Найти изменение внутренней энергии моля идеального газа при расширении по закону Р = αV (α = const) от объема V₁ = V до V₂ = 2V. Начальная температура газа 0^оС, C_μv = 21Дж/(мольК).

Ответ: Δu = 3 C_μvT₁ = 17.2кДж.

Решение.

Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, необходимо определить закон изменения температуры газа от изменения его объема. Подставляя в уравнение состояния PV = RT (для одного моля) зависимость давления от объема Р = αV, получим

T = αV²/R.

Изменение внутренней энергии одного моля газа равно

Δ U = C_μV ΔT = (α/R)(V₂² – V₁²) C_μV = (α/R)3V² C_μV = 3C_μVT₁ = 17.2 кДж.

24. Определить, какая часть энергии, затраченной на образование водяного пара, идет на увеличение внутренней энергии вещества, если удельная теплота парообразования воды L = 2.3 МДж/кг.

Ответ: α ≈ 0.9.