Решение.

Если температура газа увеличилась на ΔТ, то по первому началу термодинамики

С ΔТ = C_V ΔТ + PΔV.

Уравнение состояния газа запишется в виде

PV = (k x^α/S) xS = k x^α+1 = RT.

Отсюда

k (α + 1) x^αΔx = R ΔТ, ΔV = SΔx.

Подставляя полученные соотношение в первое начало термодинамики, запишем

С ΔТ = C_V ΔТ + (k x^α/S)S RΔТ / [k(α + 1) x^α]

или

С = C_V + R/(α + 1).

Поскольку газ одноатомный, то C_V = 3R/2 и для значения α получаем

α = R/(C – C_V) –1 = 3/2.

15. Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой, равной начальной Т_о = 300К. Оказалось, что в итоге газу сообщено количество теплоты Q = 5кДж. Во сколько раз изменился объем, занимаемый газом?

Ответ: n = Q/RT_o + 1 ~ 3.

Решение.

Н арисуем график процесса в координатах

P – V (см. рис.). Пусть конечный объем равен nV_o. Тогда, т.к. 1 – 2 – изобара, температура в точке 2 равна nT_o.

Q₁₂ = C_P ΔТ ; Q₂₃ = - C_V ΔТ ;

Q = Q₁₂ + Q₂₃ = (C_P – C_V) ΔТ = R (n –1) To.

Итак,

N = Q/RT_o + 1 = 3.

16. В проточном калориметре исследуемый газ пропускают по трубопроводу с нагревателем. Газ поступает в калориметр при Т₁ =293К. При мощности нагревателя N₁ = 1кВт и расходе газа q₁ = 540кг/ч температура Т₂ газа за нагревателем оказалась такой же, как и при удвоенной мощности нагревателя и увеличении расхода газа до q₂ = 720кг/ч. Найти температуру Т₂ газа, если его молярная теплоемкость в этом процессе (Р = const) C_Р = 29.3Дж/(мольК), а молекулярная масса μ = 29 г/моль.

Ответ: Т₂ = 312.8К

Решение.

З а интервал времени Δt нагреватель выделяет количество энергии N Δt, которая частично отдается газу массой ΔМ, походящему за это время через спираль нагревателя и, частично в количестве Q_пот теряется вследствие теплопроводности и излучения стенок трубы и торцев устройства. Уравнение теплового баланса для двух условий опыта имеют вид (cчитая мощность потерь одинаковой)

N₁ Δt = Q_пот + C (ΔМ₁/μ) ΔT,

N₂ Δt = Q_пот + C (ΔМ₂/μ) ΔT.

Вычитая из второго уравнения первое, получим

N₂ - N₁ = (C /μ) (ΔМ₂/ Δt - ΔМ₁/ Δt) ΔT = (C /μ) (q₂ – q₁) ΔT.

Отсюда

T₂ = T₁ + (μ/C) (N₂ - N₁)/ (q₂ – q₁) = 312.8 K

17. Паровая машина мощностью N = 14.7 кВт потребляет за t = 1ч работы m = 8.1 кг угля с удельной теплотой сгорания q = 3.3^.10⁷ Дж/кг. Температура котла t^o₁ = 200^oC, температура холодильника t^o₂ = 58^oC. Найти фактический КПД η_ф этой машины. Определить, во сколько раз КПД η_ид идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника, превосходит КПД этой паровой машины.

Ответ: η_ф = 20%, η_ид/η_ф = 1.5.

Решение.

КПД реальной тепловой машины η_ф определяется отношением работы, совершенной за время t , к количеству теплоты Q₁ , которое отдано нагревателем за это время:

η_ф = А/ Q₁ .

Работу, совершенную паровой машиной можно определить как

A = Nt,

где N – мощность машины. Паровая машина отдает количество теплоты

Q₁ = mq,

где m – масса сгоревшего угля. Тогда

η_ф = Nt / mq .

КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно

η_ид = (Т₁ – Т₂)/Т₁.

Отсюда

η_ид/η_ф = (Т₁ – Т₂)/(Т₁ η_ф).

Подставляя численные значения, получим η_ф = 20%, η_ид/η_ф = 1.5.

1 8. С ν = 5 моль идеального одноатомного газа осуществляют круговой цикл, состоящий из двух изохор и двух адиабат (см. рис.). Определить КПД η теплового двигателя, работающего в соответствии с данным циклом. Определить максимальный КПД η_max , соответствующий этому циклу. В состоянии 2 газ находится в тепловом равновесии с нагревателем, а в состоянии 4 - с холодильником. Известно, что Р₁ = 200 кПа, Р₂ = 1200 кПа, Р₃ = 300 кПа, Р₄ = 100 кПа, V₁ = V₂ = 2 м³, V₃ = V₄ = 6 м³.

Ответ: η = 40%, η_max = 75%.