Решение

Наклон изохор, проведенных из начала координат обратно пропорционален объему газа

P = [mR/(μV)]T.

Изохора, проведенная в точку 3, имеет минимальный наклон, следовательно, объем газа в этой точке максимален. Тогда для массы газа получим

m = P₃V₃μ/(RT₃) = 16 г.

Поскольку 3 → 1 изобара, то

V₁/T₁ = V₃/T₃,

отсюда

V₁/= V₃ T₁/T₃ = 12.3 дм³.

1 6. Моль одноатомного идеального газа из начального состояния 1 с температурой Т₁ = 100К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (см. рис.). Этот переход происходит адиабатически, без теплообмена. Затем газ квазистатически сжимают в процессе 2-3 , в котором давление является линейной функцией объема и, наконец, в изохорическом процессе 3-1 газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в процессе 1-2, если в процессах 2-3-1 к газу в итоге подведено Q = 72Дж тепла. Известно, что Т₂ = Т₃, V₂ = 3V₁.

(МФТИ,86-88) Ответ: А₁₂ = 3/2R(T₁ – T₂) = 625Дж.

Решение.

Согласно первому началу термодинамики для процесса 1→2 имеем

А₁₂ = - Δu₁₂ = с_v(Т₁ – Т₂) – первое начало применимо всегда, и для неквазистационарных процессов, как здесь, процессов тоже.

В процессе 2→3 Δu₂₃ = 0, т.е.

Q₂₃ = A₂₃ = ½ (P₂ + P₃)(V₃ – V₂) = ½ P₂V₂(1 + P₃/P₂)(V₃/V₂ – 1).

Поскольку

Т₂ = Т₃, то P₃/P₂ = V₂/V₃ = V₂/V₁ = k.

Тогда

Q₂₃ = ½ RT₂(1 + k)(1/k – 1) = ½ RT₂ (1 + k)(1 - k)/k.

Q₃₁ = (3/2)R(T₁ – T₂).

Q = Q₁₂ + Q₃₁ = ½ RT₂ (1 + k)(1 - k)/k + (3/2)R(T₁ – T₂).

Отсюда

Т₂ = (9/17)T₁ – (6/17)Q/R ≈ 50 K.

Итак,

А₁₂ = (3/2)R(T₁ – T₂) = 625 Дж.

17. Найти теплоемкость одного моля идеального газа в политропическом процессе, в котором давление Р и объем газа V связаны соотношением Р = αV², где α – некоторая постоянная. Молярную теплоемкость газа при постоянном объеме считать известной и равной С_μV. (При решении задачи принять, что изменение объема и температуры газа мало по сравнению с начальными объемом и температурой).

Ответ: С = С_μV + R/3.

Решение.

Используя определение теплоемкости С = ΔQ/ΔT и первый закон термодинамики

ΔQ = С_μV ΔT + ΔА, получаем для идеального газа

С = С_μV + ΔА/ΔT.

При малых изменениях объема давление можно считать постоянным и работу считать по формуле

ΔА = РΔV.

Из уравнений Р = αV² и PV = RT следует, что

T = αV³/R.

Разность температур

ΔT = Т₁ – Т = αV₁³/R - αV³/R = αV³/R[(V₁/V)³ – 1],

где V₁ = V + ΔV.

Тогда

(V₁/V)³ = (1 + ΔV/V)³ ≈ 1 + 3 (ΔV/V).

С учетом этого

ΔT = 3αV² ΔV /R.

Подставляя в выражение для работы РΔV давление Р = αV² , найдем теплоемкость газа:

С = С_μV + αV² ΔV /ΔT = С_μV + αV² ΔVR/3αV² ΔV = С_μV + R/3.

В случае одноатомного газа С = 11R/6.

1 8. В ведре находится смесь воды со льдом массой m = 10кг. Ведро внесли в комнату и сразу начали измерять температуру смеси. Получившаяся зависимость температуры смеси от времени изображена на рисунке. Удельная теплоемкость воды С_В = 4.2кДж/(кгК), удельная теплота плавления льда λ = 340кДж/кг. Определить массу льда в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкостью ведра пренебречь.

Ответ: m_Л = 1.23кг.