Решение.

Заметим, что процесс 3→1 является изобарическим, поскольку теплоемкость этого процесса совпадает с молярной теплоемкостью изобарического процесса 5/2R. Аналогично, можно утверждать, что процесс 2→ 3 является изохорическим процессом. На рисунке данный цикл изображен в координатах Р-V. За цикл газ получает количество теплоты равное

Q_н = 11 ν R (T₂ – T₁ ) / 6,

а отдает

Q_x = ν R{3 (T₂ – T₃ ) +5 (T₃ – T₁)} /2 = R{3 T₂ +2T₃ – 5T₁} /2,

где ν- число молей газа.

Поскольку по определению КПД цикла равно

η = (Q_н - Q_x ) / Q_н = {4 + 2n – 6(T₃ / T₁ )}/ 11(n-1),

отсюда

T₃ / T₁ = {4 + 2n – 11(n-1) η}/ 6.

Поскольку

P₁ = P₃ , V₂ = V₃ и P₂ / T₂ = P₃ / T₃ ,

то

P₂ / P₁ = P₂ / P₃= T₂ / T₃ = (T₂ / T₁) (T₁ / T₃) = 6n / {2(2+n) - 11η (n-1)}.

12. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем массы М, находится газ. Газ нагревают. Поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость v. Найти количество теплоты, сообщенной газу. Внутренняя энергия моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня, а также внешним давлением пренебречь. (Меледин, 2.64)

_Ответ: Q = ½ Mv²[1 + (c/R)].

Решение.

По закону сохранения энергии

Q = mcΔT/μ + ½ Mv²,

где ½ Mv² = PSL. Здесь учтено, что при постоянном ускорении поршня давление Р также постоянно. Уравнение газового состояния для постоянного давления дает

РΔV = mRΔT/μ.

Таким образом,

Q = mcΔT/μ + РΔV = mcΔT/μ + mRΔT/μ = m(с +R)ΔT/μ.

Отсюда

ΔT = Qμ/m (с +R)],

Q = Qc/(c + R) + ½ Mv².

Окончательно

Q = ½ Mv²[1 + (c/R)].

13.В термосе находится вода при температуре 0 ^оС. Масса воды m = 100 г. Выкачивая из термоса воздух, воду замораживают посредством ее испарения. Какова масса льда образовавшегося в термосе? Удельная теплота плавления льда λ = 3.3^.10⁵ Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 24.8^.10⁵ Дж/кг.

Ответ: m_л = 88 г.

Решение

При образовании льда выделяется тепло, которое будет тратиться на испарение воды. Уравнение теплового баланса имеет вид:

m_лλ = (m – m_л)r.

Отсюда

m_лλ = mr/(r + λ) = 88 г.

1 4. Один моль идеального газа изменяет свое состояние по циклу, изображенному на рисунке: (4 → 1) и (2→3) – изохоры, (3→4) – изобара, (1→2) – процесс с линейной зависимостью давления от объема. Температуры в состояниях 1, 2, 3, 4 равны соответственно Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. какую работу совершает газ за один цикл.

Решение

Работа, совершенная газом за цикл, равна площади трапеции 1234.

A = ½ [(P₁ – P₄) + (P₂ – P₃)](V₃ – V₄) = ½ P₃V₃(P₁/P₃ + P₂/P₃ –2)(1 – V₄/V₃).

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

P₃V₃ = RT₃.

Поскольку процессы (4 → 1) и (2→3) – изохоры, а (3→4) – изобара, то

P₁/P₃ = P₁/P₄ = T₁/T₄,

P₂/P₃ = T₂/T₃,

V₄/V₃ = T₄/T₃.

Используя, найденные соотношения, получим:

А = ½ R(T₃ – T₄) (T₁/T₄ + T₂/T₃ –2).

1 5. На рисунке изображен замкнутый процесс, который совершает некоторая масса кислорода О₂. Известно, что максимальный объем, который занимал газ в этом процессе V_max = 16.4дм³. Определить массу газа и его объем в точке 1.

Ответ: m = 16г,V = 12.3дм³.