Решение.

В цикле I Q₁₂ > 0, Q₂₄ < 0 , Q₄₁ > 0. Поэтому КПД

η₁ = (Q₁₂ + Q₂₄ + Q₄₁)/(Q₁₂ + Q₄₁) = 1 + Q₂₄ /(Q₁₂ + Q₄₁).

Отсюда

Q₁₂ + Q₄₁ = Q₂₄/ ( η₁ – 1).

Здесь использовано то, что

A = Q₁₂ + Q₂₄ + Q₄₁ , т.к. Δu = 0.

В цикле II Q₄₂ = - Q₂₄ > 0 , а Q₂₃ < 0 и Q₃₄ < 0, поэтому

η₂ = (Q₄₂ + Q₂₃ + Q₃₄)/Q₄₂ = 1 - (Q₂₃ + Q₃₄)/Q₂₄,

отсюда

Q₂₃ + Q₃₄ = (η₂ – 1)Q₂₄.

В полном цикле Q₁₂ > 0, Q₂₃ < 0 , Q₃₄ < 0, Q₄₁ > 0, поэтому

η = (Q₁₂ + Q₂₃ + Q₃₄ + Q₄₁)/(Q₁₂ + Q₄₁) =

= 1 + (Q₂₃ +Q₃₄)/(Q₁₂ + Q₄₁) =

(η₂ – 1)Q₂₄/ ( η₁ – 1)/ Q₂₄ = η₁ + η₂ - η₁ η₂

9. В герметичном теплоизолированном сосуде находится ν =2моля идеального одноатомного газа при температуре Т =300К и нормальном атмосферном давлении. Найти давление газа после включения на время t =3мин небольшого электронагревателя мощностью N = 16.6Вт, помещенного в сосуд (МФТИ, до91г.)

Ответ: P = P_o(1 + Nt/3RT) = 1.4 10⁵Па .

Решение.

От нагревателя газ получает количество тепла

Q = Nt.

Поскольку работа газа равна нулю, то

Q = ΔU = ν c_V ΔT =3/2R ν ΔT,

отсюда

ΔT = 2/3Nt / R ν.

Температура газа

Т₂ = Т + ΔT,

а давление по закону Шарля,

P₂ = P_o(T₂/T) = P_o(1 + ΔT/T) = P_o[1 + 2Nt /(3ν RT)] =

= 10⁵[1 + (16.6^.180)/(3^. 8.3^.300)] = 140кПа.

10. Один моль гелия, имевшего температуру T₁ , нагревают так, что его давление увеличивается пропорционально среднеквадратичной скорости с теплового движения его атомов. Сколько теплоты необходимо передать гелию, чтобы увеличить скорость с в n = 2 раза? (МГУ, физ. фак. , 2000)

Ответ: Q = 2 R T₁ ( n² -1 ) =6 R T₁

Решение.

Согласно первому закону термодинамики количество теплоты, определяется как

Q = Δ U + A ,

где Δ U = 3/2 R ΔT – изменение внутренней энергии газа, А – совершенная газом работа, ΔT – изменение температуры газа , R – универсальная газовая постоянная.

Среднеквадратическая скорость молекул равна

с= (3 R T / μ)^1/2

Отсюда

Т₂ / Т₁ = (с₂ /с₁)² = n² .

Здесь индексы ‘ 1 ‘ , ‘2 ‘ относятся к исходному и конечному состояниям газа. Поскольку по условию задачи Р ~ с , а, следовательно, Р ~ Т^1/2 , то , записав уравнение Менделеева-Клапейрона в виде

Р = (R Т^1/2 / V) Т^1/2 ,

получим, что Т^1/2 / V = const , где V – обьем газа. Следовательно

P ~ V, и V₂ / V₁ = ( Т₂ / Т₁)^1/2 = n, P₂ / P₁ = V₂ / V₁ = n.

Поскольку давление пропорционально обьему, то для работы газа можно записать

А = ½ (P₂+ P₁) (V₂ – V₁) = ½ P₁ V₁ (n + 1) (n – 1) =½ R Т₁ (n² - 1) .

Изменение внутренней энергии запишется как

Δ U = 3/2 R ΔT = 3/2 R T₁ ( n² - 1)

Тогда необходимое количество теплоты будет равно

Q = Δ U + A = 2 R T ( n² - 1) = 6 R T .

1 1. Зависимость от температуры молярной теплоемкости С_μ идеального одноатомного газа в цикле тепловой машины, который состоит из трех последовательных процессов 1-2, 2-3, 3-1, изображена на рисунке. Здесь R –универсальная газовая постоянная. Найти отношение давлений газа при максимальной T₂ и минимальной T₁ абсолютных температурах, в этом цикле, если КПД машины равен η = 1/11, количество газа в цикле неизменно и отношение T₂ /T₁ = n = 2 (МГУ, физ. фак., 2001)

_Ответ: P₂ /P₁ = 6n / {2(2+n) - 11η (n-1)}.